YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng |a-b| > căn bậc [3]ab

cho a,b là các số nguyên dương phân biệt sao cho ab(a+b) chia hết cho a2+ab+b2. chứng minh rằng \(\left | a-b \right |>\sqrt[3]{ab}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Thái Đức Duy

    Lời giải:

    Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a,b$

    Khi đó, đặt \(\left\{\begin{matrix} a=dx\\ b=dy\end{matrix}\right.(x,y)=1\)

    Ta có: \(ab(a+b)\vdots a^2+ab+b^2\)

    \(\Leftrightarrow dxdy(dx+dy)\vdots (dx)^2+dxdy+(dy)^2\)

    \(\Leftrightarrow dxy(x+y)\vdots x^2+xy+y^2\)

    Do $x,y$ nguyên tố cùng nhau nên :

    \((x,x^2+xy+y^2)= (y,x^2+xy+y^2)=(x+y,x^2+xy+y^2)=1\)

    Suy ra \(d\vdots x^2+xy+y^2\)

    \(\Rightarrow d\geq x^2+xy+y^2\)

    \(\Rightarrow d^3\geq a^2+ab+b^2\)

    Mà với $a,b$ nguyên dương phân biệt thì \(a^2+ab+b^2\geq 3ab>ab\)

    Do đó \(d^3>ab(1)\)

    Mặt khác: $a,b$ nguyên dương phân biệt kéo theo $x,y$ nguyên dương phân biệt nên \(|x-y|\geq 1\)

    \(\Rightarrow |a-b|=d|x-y|\geq d(2)\)

    Từ \((1);(2)\Rightarrow |a-b|^3>ab\Rightarrow |a-b|>\sqrt[3]{ab}\)

    Ta có đpcm.

      bởi Thái Đức Duy 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON