Toán 7 Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau


Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán chứng minh hệ thức, tìm các đại lượng chưa biết bằng cách áp dụng dãy tỉ số bằng nhau,...Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng nắm được kiến thức.

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tính chất

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\,\,\,(b \ne d\,\,va\,\,b \ne  - d)\)

  • Mở rộng:

Từ dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\,\)(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

1.2. Chú ý:

  • Khi các dãy tỉ số: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5},\) ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
  • Ta cũng viết: a : b : c = 2 : 3 : 5.

Ví dụ 1: 

Tìm x, y biết:

a. \(\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}\) và \(x + y =  - 60\).

b. \(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}\) và \(2x - y = 34\).

c. \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\) và \({x^2} + {y^2} = 100\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}\) và \(x + y =  - 60\)

\( \Rightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{{13}} = \frac{{x + y}}{{7 + 13}} = \frac{{ - 60}}{{20}} =  - 3\).

Do đó:

 \(\begin{array}{l}\frac{x}{7} =  - 3 \Rightarrow x =  - 21\\\frac{y}{{13}} =  - 3 \Rightarrow y =  - 39\end{array}\).

b. \(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}\) và \(2x - y = 34\)

\(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}} \Rightarrow \frac{{2x}}{{38}} = \frac{y}{{21}} = \frac{{2x - y}}{{38 - 21}} = \frac{{34}}{{17}} = 2\).

Do đó: \(\frac{x}{9} = 2 \Rightarrow x = 38\).

\(\frac{y}{{21}} = 2 \Rightarrow y = 42\).

c. \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\) và \({x^2} + {y^2} = 100\).

\(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{19 + 6}} = \frac{{100}}{{25}} = 4\).

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{9} = 4 \Rightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x =  \pm 6\).

\(\frac{{{y^2}}}{{16}} = 4 \Rightarrow {y^2} = 64 \Rightarrow y =  \pm 8\).


Ví dụ 2:

Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì:

a. \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\).          

b. \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

a. Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Mặt khác \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{5a}}{{5c}} = \frac{{3b}}{{3d}} = \frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3d}}{{5c - 3d}}\).

Vậy \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}\).

b. Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Vậy \(\frac{a}{c}.\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{b}{d} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d}\) hay \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}\).

Mặt khác ta lại có:

\(\frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8d}}\)

Do đó ta có: \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).


Ví dụ 3:

Cho bốn số khác 0 là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\) thoả mãn \({a_2}^2 = {a_1}a{}_{3,}{a_3}^2 = {a_2}{a_4}\). Chứng minh: \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\\a_3^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\end{array}\).

Nên \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\).

Suy ra: \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Bài tập minh họa

Bài 1: 

Biết \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\). Chứng minh rằng: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{abz - acy + bcx - abz + acy - bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\)

Suy ra:

  • \(\frac{{bz - cy}}{a} = 0\) nên \(bz - cy = 0 \Rightarrow bz = cy\) hay \(\frac{b}{y} = \frac{c}{z}\) (1).
  • \(\frac{{cx - {\rm{az}}}}{b} = 0\) nên \(cx - az = 0 \Rightarrow cx = az\) hay \(\frac{c}{z} = \frac{a}{x}\)  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}.\)


Bài 2:

Ba vòi nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{m^3}\) từ lúc không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{m^3}\) nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi thức hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào hồ?

Hướng dẫn giải:

Gọi lượng nước các vòi đã chảy vào hồ là x, y, z mét khối nước. Thời gian mà các vòi chảy vào hồ 3x, 5y, 8z. Vì thời gian chảy của các vòi là như nhau nên ta có:

\(3x = 5y = 8z \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{y}{3};\,\,\frac{y}{8} = \frac{5}{5} \Rightarrow \frac{{8x}}{{40}},\,\frac{{3y}}{{24}} = \frac{{3z}}{{15}}\)

\( \Rightarrow \frac{x}{{40}} = \frac{y}{{24}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = \frac{{15,8}}{{79}} = 0,2\)

Từ đó ta có: \(x = 8{m^3};y = 4,8{m^3};z = 3{m^3}\).

Chú ý: Ta cũng có thể nói rằng: Trong cùng một thời gian, lượng nước chảy được mỗi vòi tỉ lệ với lượng nước mỗi vòi chảy được trong một đơn vị thời gian, nghĩa là: \(x:y:z = \frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{8}\) tức là: \(\frac{x}{{\frac{1}{3}}} = \frac{y}{{\frac{1}{5}}} = \frac{z}{{\frac{1}{8}}}\)

Từ đây ta tìm được x, y, z.


Bài 3:

Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b, c là số điểm 10 của ba học sinh A, B, C ta có:

\(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{a + c - b}}{{2 + 4 - 3}} = \frac{6}{3} = 2\).

Do đó: \(\frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4\)

\(\begin{array}{l}\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6\\\frac{c}{4} = 2 \Rightarrow c = 8\end{array}\).

Vậy:

Học sinh A có 4 điểm 10.

Học sinh B có 6 điểm 10.

Học sinh C có 8 điểm 10.

3. Luyện tập Bài 8 Toán 7 tập 1

Qua bài giảng Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để làm một số bài tập

3.1. Trắc nghiệm về Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 8 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

  • Câu 1:

    Cho tỉ lệ thức \(\frac{{3{\rm{x}} - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}\). Tính giá trị của tỉ số \(\frac{x}{y}\)?

    • A. \(\frac{9}{7}\)
    • B. \(\frac{8}{7}\)
    • C. \(\frac{7}{8}\)
    • D. \(\frac{7}{9}\)
  • Câu 2:

    Tìm x, y biết \(\frac{{{x^2}}}{16} = \frac{{{y^2}}}{{9}}\) và  \({x^2} + {y^2} = 100\)

    • A. \(x=8; y=6\)
    • B. \(x=-8; y=6\)
    • C. \(x = \pm 6;\,\,y = \pm 8\)
    • D. \(x = \pm 8;\,\,y = \pm 6\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2. Bài tập SGK về Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Bài 8 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 58 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 59 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 60 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

4. Hỏi đáp Bài 8 Chương 1 Đại số 7 tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!

  • Mn chứng minh giúp mình câu này với. thanks mn nhiều ạ

    Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2 ; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  • Thánh nào giải giúp e câu này vs

    Tìm các phân số tối giản, biết rằng tích của tử và mẫu bằng 550, phân số tối giản đó có thể biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn.

    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  • Có 10 chiếc máy gặt, làm việc trong 10 giờ thì gặt xong lúa trên một cánh đồng có diện tích 10 hecta. Với với 25 máy gặt cùng loại, phải mất bao nhiêu giờ mới gặt xong lúa trên một cánh đồng có diện tích 25 hecta?

    Theo dõi (0) 2 Trả lời

-- Mod Toán Học 7 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn