YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng: \(\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+2ab}\leq \frac{7}{6}\)

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn: \(a^4+b^4+\frac{1}{ab}\leq ab+2\)
Chứng minh rằng: \(\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+2ab}\leq \frac{7}{6}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • thu hảo

    Đặt \(t=ab(t>0), M=\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+2ab}\)
    \(ab+2\geq a^4+b^4+\frac{1}{ab}\geq 2a^2b^2+\frac{1}{ab}\)
    Hay \(t+2\geq 2t^2+\frac{1}{t}\Leftrightarrow 2t^3-t^2+1\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq t\leq 1\) (Vì t > 0)
    Với a, b >0 và \(ab\leq 1\), ta có \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}\) (*)

    Thật vậy:
    Với a, b > 0 và \(ab\leq 1\) , \((*)\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\leq 0\)

    Khi đó \(M\leq \frac{4}{1+ab}-\frac{3}{1+2ab}\)
    Xét hàm số \(g(t)=\frac{4}{1+t}-\frac{3}{1+2t}\)

    Ta có \(g'(t)=\frac{4}{(1+t)^2}+\frac{6}{(2t+1)^2}=-2\frac{5t^2+t-1}{(t+1)^2(2t+1)^2}<0,\forall t\in \left [ \frac{1}{2};1 \right ]\) Suy ra \(g(t)\leq g\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{7}{6} \ (2)\)
    Từ (1) và (2) suy ra \(M\leq \frac{7}{6}\)
    Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}(a=b,t=ab=\frac{1}{2})\)

      bởi thu hảo 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON