ADMICRO
VIDEO

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)

Cho a, b, c  là các số dương và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Vì a + b + c =3. Ta có \(\frac{bc}{\sqrt{3b+ca}}=\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{bc}{2}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \right )\)
    Vì theo BĐT Cô-Si: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \geq \frac{2}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\) , dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\)
    Tương tự \(\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}\leq \frac{ca}{2}\left ( \frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c} \right )\) và \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\leq \frac{ab}{2}\left ( \frac{1}{c+a} +\frac{1}{c+b}\right )\)
    Suy ra \(P\leq \frac{bc+ca}{2(a+b)}+\frac{ab+bc}{2(c+a)}+\frac{ab+ca}{2(b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\).  Vậy \(maxP=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)

      bởi Hong Van 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

MGID
ADMICRO

 

YOMEDIA
ON