ADMICRO
VIDEO

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = \(2\sqrt{2}\) \(\frac{x^{8}+y^{8}}

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = \(2\sqrt{2}\)

\(\frac{x^{8}+y^{8}}{x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}}+\frac{y^{8}+z^{8}}{y^{4}+z^{4}+y^{2}z^{2}}\frac{x^{8}+z^{8}}{x^{4}+z^{4}+x^{2}z^{2}}\geq 8\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ta có \(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})}\)

    Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^{4}+b^{4}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2})\; \; \; \; (1)\)

    Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})^{2}\geq 0\) luôn đúng

    Do đó a được: \(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2})\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a^{2}=b^{2}\Leftrightarrow a=b\)

    Áp dụng BĐT trên ta có:

    \(\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}+bc}\geq \frac{1}{3}(b^{2}+c^{2})\) Dấu "=" có \(\Leftrightarrow b=c\)

    \(\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}+aa}\geq \frac{1}{3}(c^{2}+a^{2})\) Dấu "=" có \(\Leftrightarrow c=a\)

    Cộng các vế BĐT trên ta được:

    \(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}+aa}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\; \; \; \; (2)\)

    Dấu "=" có \(\Leftrightarrow a=b=c\)

    Theo BĐT cosi ta có \(\geq 2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=8\) Dấu "=" có \(\Leftrightarrow a=b=c\)

    Do đó ta có ĐPCM.

    Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow \left | x \right |=\left | y \right |=\left | z \right |=\sqrt{2}\)

      bởi Spider man 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

MGID

Các câu hỏi mới

  • Tập xác định của hàm số  y = 3x+x- 2 là:

    A. [-5;1)     B. R\{1;-5}     C. (-5;1)     D. R

    Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [-3;3] và đồ thị của nó được biểu diễn như hình. Khẳng định nào sau đây là đúng:

    A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;0)

    B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;3)

    C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-1) và (0;3)

    D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-1) và (1;4)

    29/11/2021 |   1 Trả lời

ADMICRO

 

YOMEDIA
ON