YOMEDIA
NONE

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3.

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}.\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thanh Thảo

    Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: \(3=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\Rightarrow abc\leq 1.\)

    \(1+a^{2}(b+c)\geq abc+a^{2}(b+c)=a(ab+bc+ca)=3a\)

    Suy ra: \(\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{3a}\; \; (1).\)

    Tương tự ta có: \(\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}\leq \frac{1}{3b}\; \; (2),\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{3c}\; \; (3)\).

    Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:

    \(\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(abc=1,ab+bc+ca=3\Rightarrow a=b=c=1,(a,b,c>0).\)

      bởi Nguyễn Thanh Thảo 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON