YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
                                       \(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ta có: ĐPCM
    \(\Leftrightarrow \frac{a+b+c+\sqrt{a(a+b+c)}}{b+c}+\frac{a+b+c+\sqrt{b(a+b+c)}}{c+a}+\frac{a+b+c+\sqrt{c(a+b+c)}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
    \(\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{\frac{a}{a+b+c}}}{\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}}+\frac{1+\sqrt{\frac{b}{a+b+c}}}{\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}}+\frac{1+\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}}{\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
    Đặt \(x=\frac{a}{a+b+c}; y=\frac{b}{a+b+c}; z=\frac{c}{a+b+c}\) ta có: x, y, z > 0 và x + y + z =1
    Khi đó
    ddpcm \(\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
    \(\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{x}}{1-x}+\frac{1+\sqrt{y}}{1-y}+\frac{1+\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
    Ta cm: \(\Leftrightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}\geq \frac{9}{2}\) (1) Ta có:

    \(\left [ (1-x)+(1-y)+(1-z) \right ]\left [ \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y} +\frac{1}{1-z}\right ]\geq 9\)
    \(\Rightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z} \geq \frac{9}{2}\)
    Từ đó suy ra (1) đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
    Ta cm: \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2} \ \ (2)\)
    Thật vậy, Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{x}(1-x)\) với 0 < x < 1
    Ta có \(f'(x)=\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)
    BBT


    Suy ra \(0<f(x)<\frac{2}{3\sqrt{3}}\). Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)
    Vậy ta có \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}=\frac{x}{(1-x)\sqrt{x}}\geq \frac{x}{2}=\frac{3\sqrt{3}x}{2}\)
    tương tự \(\frac{\sqrt{y}}{1-y}\geq \frac{3\sqrt{3}x}{2}; \frac{\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{3\sqrt{3}z}{2}\)
    Suy ra \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(x+y+z)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
    Từ đó suy ra (2) đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
    Từ đó suy ra đpcm dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c

      bởi Phạm Khánh Linh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF