Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}\)

Ta có \(VT=\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\)

\(=\frac{1}{(b+\frac{2}{a})(2b+\frac{1}{a})}+\frac{1}{(c+\frac{2}{b})(2c+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+\frac{2}{c})(2a+\frac{1}{c})}\)

Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt \(a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}\) với x, y, z > 0

Khi đó \(VT=\frac{1}{(\frac{y}{x}+2\frac{z}{x})(\frac{z}{x}+2\frac{y}{x})}+\frac{1}{(\frac{z}{y}+2\frac{x}{y})(\frac{x}{y}+2\frac{z}{y})}+\frac{1}{(\frac{x}{z}+2\frac{y}{z})(\frac{y}{z}+2\frac{x}{z})}\)

\(=\frac{x^{2}}{(y+2z)(z+2y)}+\frac{y^{2}}{(z+2x)(x+2z)}+\frac{z^{2}}{(x+2y)(y+2x)}\)

Ta có \((y+2z)(z+2y)=yz+2y^{2}+2z^{2}+4yz=2(y+z)^{2}+5yz\leq \frac{9}{2}(y^{2}+z^{2})\)

Suy ra \(\frac{x^{2}}{(y+2z)(z+2y)}\geq \frac{2}{9}\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}(1)\)

Tương tự có \(\frac{y^{2}}{(z+2x)(x+2z)}\geq \frac{2}{9}\frac{y^{2}}{x^{2}+z^{2}}\: (2);\; \; \; \frac{z^{2}}{(x+2y)(y+2x)}\geq \frac{2}{9}\frac{z^{2}}{y^{2}+x^{2}}\: (3)\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được \(VT\geq \frac{2}{9}(\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}+x^{2}})\)

Lại có \(\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}+x^{2}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}+\frac{1}{y^{2}+x^{2}})-3\)

\(=\frac{1}{2}((x^{2}+y^{2})+(y^{2}+z^{2})+(z^{2}+x^{2}))(\frac{1}{y^{2+z^{2}}}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}+\frac{1}{y^{2}+x^{2}})-3\geq \frac{1}{2}.9-3=\frac{3}{2}\) (BĐT Netbit)

Suy ra \(VT\geq \frac{2}{9}.\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\) (đpcm)

Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
[a1] [a2] [a3] [a4] [a5] [a6] [a7] [a8]