ADMICRO

Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}\)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Ta có \(VT=\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\)

    \(=\frac{1}{(b+\frac{2}{a})(2b+\frac{1}{a})}+\frac{1}{(c+\frac{2}{b})(2c+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+\frac{2}{c})(2a+\frac{1}{c})}\)

    Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt \(a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}\) với x, y, z > 0

    Khi đó \(VT=\frac{1}{(\frac{y}{x}+2\frac{z}{x})(\frac{z}{x}+2\frac{y}{x})}+\frac{1}{(\frac{z}{y}+2\frac{x}{y})(\frac{x}{y}+2\frac{z}{y})}+\frac{1}{(\frac{x}{z}+2\frac{y}{z})(\frac{y}{z}+2\frac{x}{z})}\)

    \(=\frac{x^{2}}{(y+2z)(z+2y)}+\frac{y^{2}}{(z+2x)(x+2z)}+\frac{z^{2}}{(x+2y)(y+2x)}\)

    Ta có \((y+2z)(z+2y)=yz+2y^{2}+2z^{2}+4yz=2(y+z)^{2}+5yz\leq \frac{9}{2}(y^{2}+z^{2})\)

    Suy ra \(\frac{x^{2}}{(y+2z)(z+2y)}\geq \frac{2}{9}\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}(1)\)

    Tương tự có \(\frac{y^{2}}{(z+2x)(x+2z)}\geq \frac{2}{9}\frac{y^{2}}{x^{2}+z^{2}}\: (2);\; \; \; \frac{z^{2}}{(x+2y)(y+2x)}\geq \frac{2}{9}\frac{z^{2}}{y^{2}+x^{2}}\: (3)\)

    Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được \(VT\geq \frac{2}{9}(\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}+x^{2}})\)

    Lại có \(\frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}+x^{2}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}+\frac{1}{y^{2}+x^{2}})-3\)

    \(=\frac{1}{2}((x^{2}+y^{2})+(y^{2}+z^{2})+(z^{2}+x^{2}))(\frac{1}{y^{2+z^{2}}}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}+\frac{1}{y^{2}+x^{2}})-3\geq \frac{1}{2}.9-3=\frac{3}{2}\) (BĐT Netbit)

    Suy ra \(VT\geq \frac{2}{9}.\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\) (đpcm)

    Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
    [a1] [a2] [a3] [a4] [a5] [a6] [a7] [a8]

      bởi trang lan 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)