Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Hình học 9

5 trắc nghiệm 9 bài tập SGK

Trong tam giác vuông chúng ta đã từng học về định lý Pi-ta-go biểu thị mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông. Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu thêm nhiều hệ thức liên quan giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Tóm tắt lý thuyết

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

ĐỊNH LÝ 1:

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Tam giác ABC vuông tại A (hình 1), ta có:

\(b^2=a.b'\) , \(c^2=a.c'\), cách chứng minh định lý này khá đơn giản dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng là BAC và AHC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

ĐỊNH LÝ 2:

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Cụ thể ở hình 1, ta có: \(h^2=b'.c'\) 

ĐỊNH LÝ 3:

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Cụ thể ở hình 1, ta có: \(b.c=a.h\)

ĐỊNH LÝ 4:

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Cụ thể ở hình 1, ta có: \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay  \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.

 

 

Bài tập minh họa

1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tính: \(x, y\)

Hướng dẫn:Áp dụng định lý 1 ta có: \(x^2=3,6.(3,6+6,4)=3,6.10=36\Rightarrow x=6\) 

tương tự: \(y^2=6,4.(3,6+6,4)=6,4.10=64\Rightarrow y=8\)

Bài 2: Tính: \(x,y\)

Hướng dẫn: Áp dụng định lý số 2, ta có: \(4^2=2.y\Rightarrow y=8\).

Áp dụng định lý 1, ta có: \(x^2=2.(2+8)=2.10=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}\)

Bài 3: Tính: \(x,y\)

Hướng dẫn: Áp dụng định lý 4, ta có: \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow x=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3.4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}\)

Áp dụng định lý 3, ta có: \(x.y=3.4\Rightarrow y=\frac{3.4}{x}=\frac{12}{\frac{12}{5}}=5\)

(có thể tính \(y\) trước bằng định lý pi-ta-go sau đó tính \(x\))

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH=12. Tính chu vi tam giác ABC

Hướng dẫn: Đặt: \(AB=3k, AC=4k\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k\) 

Áp dụng định lý 3, ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow 3k.4k=5k.12\Rightarrow k=5\)

\(\Rightarrow AB=15; AC=20; BC=25\) và \(P=60\)

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy M, N sao cho \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^{\circ}\) 

CMR: \(AM=AN\)

Hướng dẫn: Xét 2 tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông có chung góc A nên \(\Delta ABD\sim \Delta ACE\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)                                                                                                (1)

\(\Delta ANB\) vuông tại N có NE là đường cao nên: \(AN^2=AE.AB\)                                                            (2)

\(\Delta AMC\) vuông tại M có MD là đường cao nên:  \(AM^2=AD.AC\)                                                        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)

 

-- Mod Toán Học 9 HỌC247