Giải bài tập SGK Chương 2 Hình học 9 Tập 1

Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn, trục đối xứng của đường tròn.

Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 

Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn).

Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn. Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Nêu các vị trí tương đồi của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r.  

Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm? Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm?

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\)

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’ 

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, BC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn hơn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, BC theo thứ tự tại M, N.

a. Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB

c. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, BC

d. Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.

a. Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’

c. Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE

d. Tính độ dài DE, biết rằng OA = 5cm, O’A = 3,2cm

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại E và F (A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:

a. Tam giác EBF cân

b. Tamm giác HAF cân

c. HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\)  điểm \(M\) thuộc đường tròn. Vẽ điểm \(N\) đối xứng với \(A\) qua \(M.\) \(BN\) cắt đường  tròn ở \(C.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM.\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(NE  ⊥ AB.\) 

\(b)\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(M.\) Chứng minh rằng \(FA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(FN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(( B ;  BA).\)

Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(O.\) Vẽ đường tròn \((O')\) có đường kính \(CB.\)

\(a)\) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau \(?\)

\(b)\) Kẻ dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(AC\) tại trung điểm \(H\) của \(AC.\) Tứ giác \(ADCE\) là hình gì \(?\) Vì sao\(?\)

\(c)\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(DB\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(E, C, K\) thẳng hàng.

\(d)\) Chứng minh rằng \(HK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)

Cho hai đường tròn \((O ; R)\) và \((O' ; R')\) tiếp xúc ngoài tại \(A ( R > R').\) Vẽ các đường kính \(AOB, AO'C.\) Dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(BC\) tại trung điểm \(K\) của \(BC.\)

\(a)\) Chứng minh rằng tứ giác \(BDCE\) là hình thoi.

\(b)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(EC\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(D, A, I\) thẳng hàng.

\(c)\) Chứng minh rằng \(KI\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB.\) Vẽ đường tròn \((M ; MH).\) Kẻ các tiếp tuyến \(AC, BD\) với đường tròn tâm \(M ( C\) và \(D\) là các tiếp điểm khác \(H).\)

\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(C, M, D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(b)\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \((O)\) thì tổng \(AC + BD\) không đổi.

\(c)\) Giả sử \(CD\) và \(AB\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng tích \(OH.OI\) không đổi.

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB.\) Vẽ đường tròn \((M ; MH).\) Kẻ các tiếp tuyến \(AC, BD\) với đường tròn tâm \(M ( C\) và \(D\) là các tiếp điểm khác \(H).\)

\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(C, M, D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

\(b)\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \((O)\) thì tổng \(AC + BD\) không đổi.

\(c)\) Giả sử \(CD\) và \(AB\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng tích \(OH.OI\) không đổi.

Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng

A. \(\frac{1}{3}\);        

B. \(\frac{1}{2}\);

C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\);        

D. 2.

Hãy chọn phương án đúng.

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với nửa đường tròn. Gọi \(M\) là điểm thuộc nửa đường tròn, \(D\) là giao điểm của \(AM\) và \(By,\) \(C\) là giao điểm của \(BM\) và \(Ax,\) \(E\) là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AC.BD = AB^2;\)

\(b)\) \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Gọi \(xy\) là tiếp tuyến với đường tròn tại \(A.\) Từ một điểm \(M\) nằm trên \(xy,\) vẽ tiếp tuyến \(MB\) với đường tròn. Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(MAB.\)

\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(M, H, O\) thẳng hàng.

\(b)\) Tứ giác \(AOBH\) là hình gì \(?\)

\(c)\) Khi \(M\) di chuyển trên \(xy\) thì \(H\) di chuyển trên đường nào \(?\)