Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2 Dãy số

Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

a)  _{\(u_n =\frac{n}{2^{n}-1}\);}

 b)  \(u_n =\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)

c)  _{\(u_n =(1+\frac{1}{n})^{n}\);}

d)  \(u_n =\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)

Cho dãy số \(U_n\) , biết:

           \(u_1 = -1; u_n+1 = u_n +3\) với \(n \geq 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4.\)

Dãy số u_n cho bởi: \(u_1 = 3; u_n+1 = \sqrt{1+u^{2}_{n}}, n\geq 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Xét tính tăng, giảm của các dãy số u_n biết:  

a) \(u_n=\frac{1}{n}-2\);

b)  \(u_n =\frac{n-1}{n+1}\);

c) \(u_n = (-1)^n(2^n + 1)\)

d)  \(u_n =\frac{2n+1}{5n+2}\).

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) \(u_n = 2n^2 -1\)                     

b)  \(u_n =\frac{1}{n(n+2)}\)

c)  \(u_n =\frac{1}{2n^{2}-1}\)                  

d) \(u_n = sinn + cosn\)

Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) biết

a) u_n = 10^{1 - 2n}

b) u_n = 3ⁿ - 7

c) \({u_n} = \frac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)

d) \({u_n} = \frac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)

Trong các dãy số (un) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) \({u_n} = 2n - {n^2}\)

b) \({u_n} = n + \frac{1}{n}\)

c) \({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} \)

d) \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} - 6n + 11}}\)

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 5\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2,\,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

a) Tìm công thức tính (u_n) theo n ;

b) Chứng minh (u_n) là dãy số tăng.

Cho dãy số (u_n) với u_n = n² - 4n + 3

a) Viết công thức truy hồi của dãy số ;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Cho dãy số (u_n) với u_n = 1 + (n - 1).2ⁿ

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b) Tìm công thức truy hồi ;

c) Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Cho dãy số (u_n) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N^∗ thì

\(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \frac{1}{{4{u_n}}}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi công thức:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

Số hạng u₄ là:

A. u₃ + 7          B. 10          C. 12          D. u₃ + 5

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. un = n² + n - 1              B. uⁿ = 3ⁿ

C. u_n = sinn + cosn              D. u_n = - 3n² + 1

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. \(u_n = -3n + 1\)              B. \(u_n = -2n^2 + n\)

C. \({u_n} = n + \frac{1}{n}\)             D. \(u_n = \cos n + 1\)

Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 3}}{n}\)

b. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\)

c. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 0 và \({u_n} = \frac{2}{{u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 2;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 1, u₂ = −2 và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi n ≥ 3.

Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n,… theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dn tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1 và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

u₁ = 1 và u_n = 2u_n−1+3 với mọi n ≥ 2.

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có u_n = 2ⁿ⁺¹−3   (1)

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với u_n = n³−3n²+5n−7;

b. Dãy số (x_n) với \({x_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với \({a_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

Chứng minh rằng dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+5 với mọi n ≥ 1.

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng u_n = 5n–2 với mọi n ≥ 1.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và u_n+1 = u_n+(n+1).2ⁿ với mọi n ≥ 1

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng u_n = 1+(n−1).2ⁿ với mọi n ≥ 1.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{u_n^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Cho dãy số (s_n) với

\({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\).

a. Chứng minh rằng s_n = s_n+3 với mọi n ≥ 1

b. Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.