ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 5.121 trang 218 SBT Toán 11

Giải bài 5.121 tr 218 SBT Toán 11

Cho các hàm số

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d;\,\,\,\left( C \right)\\
g\left( x \right) = {x^2} - 3x - 1
\end{array}\)

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C ) đi qua các điểm  và \(f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x0 = 1;

c) Giải phương trình \(f'\left( {\sin t} \right) = 3\)

d) Giải phương trình \(f''\left( {\cos t} \right) = g'\left( {\sin t} \right)\)

e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{f\prime \prime (\sin 5z) + 2}}{{g\prime (\sin 3z) + 3}}\)

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)

Đồ thị hàm số (C) đi qua các điểm (1;3) và (-1;-3) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + b + c + d = 3\\
 - 1 + b - c + d =  - 3
\end{array} \right.\)

Lại có 

\({f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 3{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + 2b.\frac{1}{3} + c = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 1 + 2b + 3c = 5}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + b + c + d = 3\\
 - 1 + b - c + d =  - 3\\
1 + 2b + 3c = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b =  - 1\\
c = 2\\
d = 1
\end{array} \right.\)

Vậy ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2x + 1\)

b)

Điểm có tọa độ  thì có tung độ là \({y_0} = 1 - 1 + 2 + 1 = 3\)

Ta có: 

\({f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3 - 2 + 2 = 3}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm  là:

\({y = 3\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 3x}\)

c) Ta có:

\({f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( {\sin t} \right) = 3{{\sin }^2}t = 2\sin t + 2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
f\prime (\sin t) = 3\\
 \Leftrightarrow 3\sin 2t - 2\sin t + 2 = 3\\
 \Leftrightarrow 3\sin 2t - 2\sin t - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin t = 1\\
\sin t = \frac{{ - 1}}{3}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
t = \arcsin \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) + k2\pi \\
t = \pi  - \arcsin \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)

d) Ta có: 

\({f''\left( x \right) = 6x - 2 \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2}\)

\({g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3}\)

Do đó: \(f\prime \prime (\cos t) = g\prime (\sin t)\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{f''\left( {\sin 5z + 2} \right)}}{{g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{6\sin 5z}}{{2\sin 3z}} = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\frac{{\sin 5z}}{{5z}}}}{{\frac{{\sin 3z}}{{3z}}}} = 5\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5.121 trang 218 SBT Toán 11 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

 

YOMEDIA
1=>1