Bài tập 53 trang 221 SGK Toán 11 NC

a) f′(x) = 4x³ + 4x.

Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x_0^2 = 1}\\
{x_0^2 - 3(L)}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1
\end{array}\)

* Với x₀ = 1 ta có f′(1) = 4.1³ + 4.1 = 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y−2 = 8 (x − 1) ⇔ y = 8x − 6

* Với x₀ = -1 ta có f′(−1) = 4. (−1)³ + 4.(−1) = −8 

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y − 2 = −8(x+1) ⇔ y = −8x − 6

b) Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

\(\begin{array}{l}
f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0\\
 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0
\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : 

y − (−1) = 0(x − 0) ⇔ y = −1

c) Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{8}x + 3\), nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

y′ = 8 ⇔ 4x3 + 4x − 8 = 0 ⇔ 4(x − 1)(x2 + x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là: y = 8x – 6

d) Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = kx - 6}\\
{f\prime (x) = k}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6}\\
{4{x^3} + 4x = k}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Khử k từ hệ trên ta được: 

\(\begin{array}{l}
3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1
\end{array}\)

Suy ra k = ±8

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là: y = 8x − 6

-- Mod Toán 11 HỌC247