YOMEDIA
IN_IMAGE

Bài tập 51 trang 221 SGK Toán 11 NC

Bài tập 51 trang 221 SGK Toán 11 NC

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = \sin x,\:y'''}\\
{b)y = \sin x\sin 5x,{y^{(4)}}}\\
{c)y = {{(4 - x)}^5},{y^{(n)}}}\\
{d)y = \frac{1}{{2 + x}},{y^{(n)}}}\\
{e)y = \frac{1}{{2x + 1}},{y^{(n)}}}\\
{f)y = {{\cos }^2}x,{y^{(2n)}}}
\end{array}\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \cos x\\
y =  - \sin x\\
y\prime \prime \prime  =  - \cos x
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x)}\\
{y\prime  =  - 2\sin 4x + 3\sin 6x}\\
{y =  - 8\cos 4x + 18\cos 6x}\\
{y\prime  = 32\sin 4x - 108\sin 6x}\\
{{y^{(4)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x}
\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}
y\prime  =  - 5{(4 - x)^4}\\
y = 20{(4 - x)^3}\\
y\prime  =  - 60{(4 - x)^2}\\
{y^{(4)}} = 120(4 - x)\\
{y^{(5)}} =  - 120\\
{y^{(n)}} = 0(\forall n \ge 6)
\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {(x + 2)^{ - 1}}\\
y\prime  =  - 1{(x + 2)^{ - 2}}\\
y'' = ( - 1)( - 2){(x + 2)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\(\begin{array}{l}
{y^{(n)}} = ( - 1)( - 2)...( - n).{(x + 2)^{ - n - 1}}\\
 = {( - 1)^n}.\frac{{n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}
\end{array}\)

e)

\(\begin{array}{l}
y = {(2x + 1)^{ - 1}}\\
y\prime  = ( - 1)(2{(2x + 1)^{ - 2}})\\
y'' = ( - 1)( - 2){.2^2}{(2x + 1)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\({y^{(n)}} = {( - 1)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{(2x + 1)}^{n + 1}}}}\)

f)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y\prime  =  - \sin 2x}\\
{y =  - 2\cos 2x}\\
{y''' = {2^2}\sin 2x}\\
{{y^{(4)}} = {2^3}\cos 2x}\\
{{y^{(5)}} =  - {2^4}\sin 2x}\\
{{y^{(6)}} =  - {2^5}\cos 2x,...}
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\({y^{(2n)}} = {( - 1)^n}{.22^{n - 1}}\cos 2x\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 51 trang 221 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
ADMICRO

 

YOMEDIA
ON