Bài tập 51 trang 221 SGK Toán 11 NC

a)

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \cos x\\
y =  - \sin x\\
y\prime \prime \prime  =  - \cos x
\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x)}\\
{y\prime  =  - 2\sin 4x + 3\sin 6x}\\
{y =  - 8\cos 4x + 18\cos 6x}\\
{y\prime  = 32\sin 4x - 108\sin 6x}\\
{{y^{(4)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x}
\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}
y\prime  =  - 5{(4 - x)^4}\\
y = 20{(4 - x)^3}\\
y\prime  =  - 60{(4 - x)^2}\\
{y^{(4)}} = 120(4 - x)\\
{y^{(5)}} =  - 120\\
{y^{(n)}} = 0(\forall n \ge 6)
\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {(x + 2)^{ - 1}}\\
y\prime  =  - 1{(x + 2)^{ - 2}}\\
y'' = ( - 1)( - 2){(x + 2)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\(\begin{array}{l}
{y^{(n)}} = ( - 1)( - 2)...( - n).{(x + 2)^{ - n - 1}}\\
 = {( - 1)^n}.\frac{{n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}
\end{array}\)

e)

\(\begin{array}{l}
y = {(2x + 1)^{ - 1}}\\
y\prime  = ( - 1)(2{(2x + 1)^{ - 2}})\\
y'' = ( - 1)( - 2){.2^2}{(2x + 1)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\({y^{(n)}} = {( - 1)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{(2x + 1)}^{n + 1}}}}\)

f)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y\prime  =  - \sin 2x}\\
{y =  - 2\cos 2x}\\
{y''' = {2^2}\sin 2x}\\
{{y^{(4)}} = {2^3}\cos 2x}\\
{{y^{(5)}} =  - {2^4}\sin 2x}\\
{{y^{(6)}} =  - {2^5}\cos 2x,...}
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\({y^{(2n)}} = {( - 1)^n}{.22^{n - 1}}\cos 2x\)

-- Mod Toán 11 HỌC247