Bài tập 4 trang 105 SGK Hình học 11

Giải bài 4 tr 105 sách GK Toán Hình lớp 11

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác ABC;

b) \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu a:

Dễ thấy AH là hình chiếu vuông góc của AO trên mặt phẳng (ABC), vì:

\(\left.\begin{matrix} OA\perp OB\\ OA\perp OC \end{matrix}\right\}\Rightarrow OA\perp (OBC)\)

\(\Rightarrow OA\perp BC'\)

Theo định lý ba đường vuông góc suy ra \(AH\perp BC\)

Tương tự ta cũng có \(CH\perp AB\)

⇒ H là trực tâm của tam giác ABC (đpcm)

Câu b:

Gọi I là giao điểm của AH và BC.

\(\Rightarrow BC\perp AI\)

Mặt khác \(OA\perp BC\) suy ra \(BC\perp (OAI)\Rightarrow BC\perp OI\)

Trong tam giác vuông OAI có đường cao \(OH\Rightarrow \frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OI^2}\)

Trong tam giác vuông OBC có đường cao \(OI\Rightarrow \frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\)

Vậy \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\) (đpcm)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 4 trang 105 SGK Hình học 11 HAY thì click chia sẻ

Để luyện tập thêm dạng bài tương tự như Bài tập 4 trang 105 trong SGK các em làm thêm câu hỏi trắc nghiệm sau để cũng cố kỹ năng làm dạng bài.