YOMEDIA
IN_IMAGE

Bài tập 16 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 16 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.

a. Tính độ dài AD.

b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D

c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

Giải Toán 11 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 11 nâng cao

a) Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)

mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.

Trong tam giác vuông ABC ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2}\)

Trong tam giác vuông ACD ta có:

\(\begin{array}{l}
A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\
 \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} 
\end{array}\)

b) Ta có: AB ⊥ BC và AB ⊥ CD suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.

Gọi I là trung điểm AD ta có IC = IA = IB = ID.

Vậy I cách đều A, B, C, D.

c) Ta có: AB ⊥ (BCD) ⇒ BD là hình chiếu của ADAD trên (BCD)

Khi đó:

\(\widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,BD} \right)} = \widehat {ADB}\)

Xét tam giác ABD vuông tại B thì 

\(\sin \widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

\( \Rightarrow \widehat {(AD,(BCD))} = arcsin\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lại có DC ⊥ (ABC) ⇒ AC là hình chiếu của AD trên (ABC)

Khi đó 

\(\widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,AC} \right)} = \widehat {DAC}\)

Xét tam giác ACD vuông tại C thì 

\(\sin \widehat {DAC} = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

\( \Rightarrow \widehat {(AD,(ABC))} = arcsin\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 16 trang 103 SGK Hình học 11 NC HAY thì click chia sẻ 
ADMICRO

 

YOMEDIA
ON