YOMEDIA
IN_IMAGE

Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

a. Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.

b. Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.

c. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

Đặt a = OA, b = OB, c = OC. Ta có:

\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\\
BC = \sqrt {{b^2} + {c^2}} ,\\
AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}} 
\end{array}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có :

\(\begin{array}{l}
\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{AB.AC}}\\
 = \frac{{{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2}}}{{AB.AC}}\\
 = \frac{{2{a^2}}}{{AB.AC}} > 0
\end{array}\)

⇒ A nhọn. Tương tự B, C là các góc nhọn.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

b)

Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp(ABC)

nên OH ⊥ (ABC)

Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.

Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức

là H thuộc một đường cao của tam giác ABC

Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao

thứ hai của tam giác ABC.

Vậy H là trực tâm tam giác ABC

c) Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’.

Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{OA{\prime ^2}}},\)

\(\frac{1}{{OA{\prime ^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC HAY thì click chia sẻ 
  • Đào Thị Nhàn
    Bài 3.21 (Sách bài tập - trang 147)

    Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó ?

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • thanh duy

    help help

    bởi thanh duy 03/08/2018

    có bao nhiêu đường thẳng song song với mặt phẳng (alpha) và đi qua điểm O cho trước

    Theo dõi (0) 3 Trả lời
  • Tam Thiên

    Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=2a Tính

    a,cos(SB;(ABCD))

    b,cos(SC;(SAB))

    c,cos(SB,CD)

    d,cos ((SBC);(ABCD))

    e,cos((SBC);(SAD))

    f,cos((SBC);(SCD))

    Theo dõi (1) 1 Trả lời
  • Tam Thiên

    Cho hình lăng trụ đều ABCA'B'C' .AB=a,AA'=3a.Tính :

    a,cos(AB;(BCC'B'))

    b,cos(AB';CA')

    c,cos(AB';(ACC'A'))

    d,cos((ABC);(ABC'))

    e,cos (AA';(BCA'))

     

    Theo dõi (1) 1 Trả lời
  • Tam Thiên

    Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=2a Tính

    a,cos(SB;(ABCD))

    b,cos(SC;(SAB))

    c,cos(SB,CD)

    d,cos ((SBC);(ABCD))

    e,cos((SBC);(SAD))

    f,cos((SBC);(SCD))

    Theo dõi (1) 1 Trả lời
  • Tam Thiên

    Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=a Tính

    a,cos(SB;(ABCD))

    b,cos(SC;(SAB))

    c,cos(SB,CD)

    d,cos ((SBC);(ABCD))

    e,cos((SBC);(SAD))

    f,cos((SBC);(SCD))

    Theo dõi (1) 2 Trả lời
ADMICRO

 

YOMEDIA
ON