Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC

Đặt a = OA, b = OB, c = OC. Ta có:

\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\\
BC = \sqrt {{b^2} + {c^2}} ,\\
AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}} 
\end{array}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có :

\(\begin{array}{l}
\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{AB.AC}}\\
 = \frac{{{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2}}}{{AB.AC}}\\
 = \frac{{2{a^2}}}{{AB.AC}} > 0
\end{array}\)

⇒ A nhọn. Tương tự B, C là các góc nhọn.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

b)

Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp(ABC)

nên OH ⊥ (ABC)

Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.

Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức

là H thuộc một đường cao của tam giác ABC

Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao

thứ hai của tam giác ABC.

Vậy H là trực tâm tam giác ABC

c) Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’.

Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{OA{\prime ^2}}},\)

\(\frac{1}{{OA{\prime ^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247