Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a. Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.
b. Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.
c. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt a = OA, b = OB, c = OC. Ta có:
\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\\
BC = \sqrt {{b^2} + {c^2}} ,\\
AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có :
\(\begin{array}{l}
\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{AB.AC}}\\
= \frac{{{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2}}}{{AB.AC}}\\
= \frac{{2{a^2}}}{{AB.AC}} > 0
\end{array}\)
⇒ A nhọn. Tương tự B, C là các góc nhọn.
Vậy ΔABC có ba góc nhọn.
b)
Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp(ABC)
nên OH ⊥ (ABC)
Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.
Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức
là H thuộc một đường cao của tam giác ABC
Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao
thứ hai của tam giác ABC.
Vậy H là trực tâm tam giác ABC
c) Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’.
Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{OA{\prime ^2}}},\)
\(\frac{1}{{OA{\prime ^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Vậy \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
-- Mod Toán 11 HỌC247
-
hình không gian. 11
bởi Tam Thiên
09/08/2017
Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=2a Tính
a,cos(SB;(ABCD))
b,cos(SC;(SAB))
c,cos(SB,CD)
d,cos ((SBC);(ABCD))
e,cos((SBC);(SAD))
f,cos((SBC);(SCD))
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
hình không gian. 11.
bởi Tam Thiên
09/08/2017
Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=a Tính
a,cos(SB;(ABCD))
b,cos(SC;(SAB))
c,cos(SB,CD)
d,cos ((SBC);(ABCD))
e,cos((SBC);(SAD))
f,cos((SBC);(SCD))
Theo dõi (1) 2 Trả lời