Bài tập 3 trang 199 SBT Hình học 11

a) Ta chứng minh: CH ⊥ AB và AH ⊥ BC

Ta có: AB ⊥ SC (do SH ⊥ (ABC)) và AB ⊥ SH (do SC ⊥ (SAB))

⇒ AB ⊥ (SCH) ⇒ AB ⊥ CH (1)

Tương tự, ta có BC ⊥ (SAH) nên AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) cho ta H là trực tâm ΔABC.

b) Giả sử CH kéo dài cắt AB tại C’, ta có

AB ⊥ CC' (do H là trực tâm) và AB ⊥ SC' (do AB ⊥ (SCH))

Trong tam giác SCC’, ta có \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\,\,\left( 3 \right)\)

Mà SC’ là đường cao trong tam giác vuông SAB nên \(\frac{1}{{SC{'^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3), (4) suy ra \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\)  (5)

c) 

\(\begin{array}{l}
{S_{HBC}}.{S_{ABC}} = \left( {\frac{1}{2}HA'.BC} \right).\left( {\frac{1}{2}AA'.BC} \right)\\
 = \frac{1}{4}HA'.AA'.B{C^2} = \frac{1}{4}SA{'^2}.B{C^2} = {\left( {\frac{1}{2}SA'.BC} \right)^2} = {\left( {{S_{SBC}}} \right)^2}\,\,\left( 6 \right)
\end{array}\)

Tương tự, ta có (S_SCA)² = S_HCA. S_ABC (7)

(S_SAB)² = S_HAB. S_ABC     (8)

Cộng (6), (7), (8) vế theo vế, ta có:

\({\left( {{S_{SBC}}} \right)^2} + {\left( {{S_{SCA}}} \right)^2} + {\left( {{S_{SAB}}} \right)^2} = {S_{ABC}}.\underbrace {\left( {{S_{HBC}} + {S_{HCA}} + {S_{HAB}}} \right)}_{{S_{ABC}}} = {\left( {{S_{ABC}}} \right)^2}\)

d) Với G là trọng tâm \(\Delta ABC\), ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {SG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)\\
 \Rightarrow S{G^2} = \frac{1}{9}\left( {\overrightarrow {S{A^2}}  + \overrightarrow {S{B^2}}  + \overrightarrow {S{C^2}}  + 2\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  + 2\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} } \right)\\
 = \frac{1}{9}\left( {\overrightarrow {S{A^2}}  + \overrightarrow {S{B^2}}  + \overrightarrow {S{C^2}} } \right)\left( {do\,\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA}  = 0} \right)
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2AB. BC ≤ AB² + BC²

2CA. AB ≤ CA² + AB²

2BC. CA ≤ BC² + CA²

Suy ra (AB + BC + CA)² = AB² + BC² + CA² + 2(AB.BC + BC.CA + CA.AB)

           ≤ 3(AB² + BC² + CA²)

           ≤ 3(SA² + SB² + SB² + SC² + SC² + SA²)

           ≤ 6(SA² + SB² + SC²).

e) Đặt SA = a, SB = b, SC = c

Trong ΔABC, ta có: \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)} }} > 0\)

Tương tự cos B > 0, cos C > 0.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

Mặt khác, ta có: \(S{A^4}{\tan ^2}A = {a^4}\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}A}} - 1} \right) = {a^4}\left[ {\frac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}}{{{a^4}}} - 1} \right]\)

= (a² + b²)(a² + c²) - a⁴ = a²b² + b²c² + c²a²

= 4(S_SAB² + S_SBC² + S_SCA²) = 4(S_ABC)² ⇒ SA²tanA = 2S_ABC.

Tương tự, ta có: SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC.

Vậy SA²tanA = SB²tanB = SC²tanC = 2S_ABC.

-- Mod Toán 11 HỌC247