Bài tập 2 trang 199 SBT Hình học 11

Nhận xét

Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.

Như vậy: \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB} = 1v\).

a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.

Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))

\(\left\{ \begin{array}{l}
AJ \bot BC\\
AJ \bot SB
\end{array} \right. \Rightarrow AJ \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AJ \bot JI\,\,\left( 3 \right)\)

Lý luận tương tự, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AD\\
BD \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BD \bot AK\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
AK \bot BD\\
AK \bot SB
\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AK \bot KI\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).

b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ

Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ

Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)

c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.

Gọi M = JK ∩ CD

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)

SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)

Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.

d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI

ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).

ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).

Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.

e) Theo chứng minh câu c.

f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).

Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn (C₁) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).

Tương tự, tập hợp J là đường tròn (C₂) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).

-- Mod Toán 11 HỌC247