Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. \(\overrightarrow u  = (2;3)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {\frac{1}{2};6} \right)\)

B. \(\overrightarrow a  = (\sqrt 2 ;6)\) và \(\overrightarrow b  = (1;3\sqrt 2 )\)

C. \(\overrightarrow i  = (0;1)\) và \(\overrightarrow j  = (1;0)\)

D. \(\overrightarrow c  = (1;3)\) và \(\overrightarrow d  = (2; - 6)\)

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. \(\overrightarrow u  = (2;3)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {4;6} \right)\)

B. \(\overrightarrow a  = (1; - 1)\) và \(\overrightarrow b  = ( - 1;1)\)

C. \(\overrightarrow z  = (a;b)\) và \(\overrightarrow t  = ( - b;a)\)

D. \(\overrightarrow n  = (1;1)\) và \(\overrightarrow k  = (2;0)\)

Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. \(\overrightarrow a  = (1;1)\)

B. \(\overrightarrow b  = (1; - 1)\)

C. \(\overrightarrow c  = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\)

D. \(\overrightarrow d  = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow b  = ( - 2;0)\) có số đo bằng:

A. \({90^o}\)

B. \({0^o}\)

C. \({135^o}\)

D. \({45^o}\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } )\overrightarrow c  = \overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b .\overrightarrow c })\)

B. \({( {\overrightarrow a .\overrightarrow b })^2} = {\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}\)

C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = | {\overrightarrow a } |.\left| {\overrightarrow b } \right|\,\sin ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )\)

D. \(\overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b  - \overrightarrow c }) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  - \overrightarrow a .\,\overrightarrow c \)

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}\)

B. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^o}\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = {a^2}\)

C. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = {a^2}\sqrt 2 \)

D. \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  =  - {a^2}\)

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \)

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \). 

Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow u \) với \(|\overrightarrow a |\; = \;\,|\overrightarrow b |\; = 1\) và \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b .\) Chứng minh rằng:

a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

b) \(\overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \)

Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng \(S{15^o}E\) với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) và \(O.\) Số các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là:

A. 6

B. 3

C. 4

D. 2

Cho đoạn thẳng \(AC\) và \(B\) là một điểm nằm giữa \(A,\,\,C.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

A. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) cùng hướng.

B. Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

C. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.

D. Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Gọi \(K,\,\,L,\,\,M,\,\,N\) tướng ứng là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA.\) Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,K,\)\(L,\,\,M,\,\,O\) có bao nhiêu vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} \) ?

A. 2

B. 6

C. 4

D. 8

Cho hình thoi \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng 1 và \(\widehat {DAB} = {120^ \circ }.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

B. \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC} \)

C. \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\)

D. \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\)

Cho tam giác \(ABC\) đều, trọng tâm \(G,\) có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(2\sqrt 3 \)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB = 3,\,\,AC = 4.\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} \) bằng

A. \(\sqrt {13} \)

B. \(2\sqrt {13} \)

C. \(4\)

D. \(2\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,\,\,BC = 4\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }.\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BA} \) bằng

A. \(2\)

B. \(\sqrt {19} \)

C. \(4\)

D. \(\frac{{\sqrt {19} }}{2}\)

Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 .\) Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow {AI}  = 2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)

B. \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC} \)

C. \(\overrightarrow {AI}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC} }}{{ - 3}}\)

D. \(\overrightarrow {AI}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} }}{3}\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(BC.\) Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GM} \)

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} \)

C. \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {MG} \)

D. \(3\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {AM} \)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 3;1),\,\,B(2; - 1),\,\,C(4;6).\) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là:

A. \((1;2)\)

B. \((2;1)\)

C. \((1; - 2)\)

D. \(( - 2;1)\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 3;3),\,\,B(5; - 2),\) và \(G(2;2).\) Tọa độ của điểm \(C\) sao cho \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) là:

A. \((5;4)\)

B. \((4;5)\)

C. \((4;3)\)

D. \((3;5)\)

Cho hình vuông \(ABCD\) với độ dài cạnh bằng \(a.\) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng

A. \({a^2}\sqrt 2 \)

B. \(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}\)

C. \({a^2}\)

D. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) tương đương với

A. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

B. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

C. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

D. \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

Cho hai vectơ cùng khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) tương đương với

A. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

B. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

C. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

D. \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 1,\,\,BC = 2\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }.\) Tích vô hướng \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \) bằng

A. \(\sqrt 3 \)

B. \( - \sqrt 3 \)

C. \(3\)

D. \( - 3\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B( - 1;5)\) và \(C(3m;2m - 1).\) Tất cả các giá trị của tham số m sao cho \(AB \bot OC\) là:

A. \(m =  - 2\)

B. \(m = 2\)

C. \(m =  \pm 2\)

D. \(m = 3\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1,\,\,AC = 2.\) Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(2BM = MC,\,\,CN = 2NA,\,\,AP = 2PB.\) Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} \) bằng

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \( - \frac{1}{2}\)

C. \(0\)

D. \(1\)

Cho tam giác \(ABC\) đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(BM = 2MC,\,\,CN = 2NA\) và \(AM \bot NP.\) Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{12}}\)

B. \(\frac{7}{{12}}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{7}{5}\)

Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

B. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\)

C. \({a^2}\)

D. \( - {a^2}\)

Cho tam giác \(ABC.\) Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {AC} } \right|\) là:

A. Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(BC\)

B. Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\)

C. Đường tròn đường kính \(BC\)

D. Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\)

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,\,\,AD.\) Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là giao điểm của \(BD\) với \(AM,\,\,CN.\) Xét các cevtơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) các đầu mút lấy từ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,M,\,\,N,\,\,I,\,\,J,\,\,O.\)

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)

b) Chứng minh ằng \(BI = IJ = JD.\)

Trên cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\) không trùng với \(B\) và \(C\) sao cho \(BM = MN = NC.\)

a) Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có cùng trọng tâm.

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Đặt \(\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow v .\) hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v :\,\,\overrightarrow {GA} ,\,\,\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} .\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4,\,\,AC = 5\) và \(\widehat {CAB} = {60^ \circ }.\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .\)

b) Lấy các điểm \(M,\,\,N\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \,\,\left( {x \ne  - 1} \right).\) Xác định \(x\) sao cho \(AN\) vuông góc với \(BM.\)

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,CD.\) Lấy \(P\) thuộc đoạn \(DM\) và \(Q\) thuộc đoạn \(BN\) sao cho \(DP = 2PM,\,\,BQ = xQN.\) Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow v .\)

a) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {AQ} \) qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)

b) Tìm \(x\) để \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng.

Cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm \(G.\) Lấy điểm \(A',\,\,B'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'}  = 2\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {BB'}  = 2\overrightarrow {CA} .\) Gọi \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C.\) Chứng minh rằng \(GG'\) song song với \(AB.\)

Cho tứ giác lồi \(ABCD,\) không có hai cạnh nào song song. Gọi \(E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD.\) Gọi \(K,\,\,L,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AF,\,\,CE,\,\,BF,\,\,DE.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(KLMN\) là một hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KM,\,\,LN.\) Chứng minh rằng \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Cho hình thang vuông \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = {90^ \circ },\,\,BC = 1,\,\,AB = 2\) và \(AD = 3.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

a) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {CM} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} .\)

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD,\,\,G\) là trọng tâm tam giác \(MCD\) và \(I\) là điểm thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(9IC = 5ID.\) Chứng minh rằng \(A,\,\,G,\,\,I\) thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng \(AI\) và \(BI.\)

Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = 0.\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = (1;2),\,\,\overrightarrow b  = (3; - 4),\,\,\overrightarrow c  = ( - 5;3).\)

a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow b .\overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow c .\overrightarrow a \)

b) Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 2;1),\,\,B(1;4)\) và \(C(5; - 2).\)

a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)

b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC.\) 

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B(5;3)\) và \(C( - 2;9).\)

a) Tìm điểm \(D\) thuộc trục hoành sao cho \(B,\,\,C,\,\,D\) thẳng hàng.

b) Tìm điểm \(E\) thuộc trục hoành sao cho \(EA + EB\) nhỏ nhất.

c) Tìm điểm \(F\) thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC} \) có độ dài ngắn nhất.

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng \({15^ \circ }\) so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 \(m/{s^2}.\)