Giải bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

a) Tính: \(\overrightarrow {AP}\), \(\overrightarrow {AQ}\)

b) Để \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AP} \) và \(\overrightarrow {AQ} \) cùng phương 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DP} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {DM} \\ = \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \\ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow u  + \frac{1}{3}\overrightarrow v \end{array}\)

Ta có: \(BQ = xQN\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BQ}  = x\overrightarrow {QN} \)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AQ}  - \overrightarrow {AB}  = x\left( {\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AQ} } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AN} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AB}  + x\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} } \right) = x\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow {AD}  + \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow v  + \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)\overrightarrow u \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AQ}  = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u  + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \end{array}\)

b) Để \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AP} \) và \(\overrightarrow {AQ} \) cùng phương 

\( \Leftrightarrow \,\,\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}:\frac{1}{3} = \frac{x}{{x + 1}}:\frac{1}{3}\) (Điều kiện: \(x \ne  - 1\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\frac{{x + 2}}{2} = x\\ \Leftrightarrow \,\,2x = x + 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \,\,x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 2\) thì \(A,\,\,P,\,\,Q\) thẳng hàng

-- Mod Toán 10 HỌC247