Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 2 Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\) 

b)  \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)

c)  \(2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\)

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a)  \(x^2 +\sqrt{x+8}\leq 3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0;\)

b) \(2x^2 +5 \leq 2x - 1\) và \(2x^2 - 2x + 6 \leq 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và  \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} \geq x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1).\)

Giải các phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5.\)

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Viết điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(2x - 3 - \frac{1}{{x - 5}} < {x^2} - x\)

b) \({x^3} \le 1\)

c) \(\sqrt {{x^2} - x - 2}  < \frac{1}{2}\)

d) \(\sqrt[3]{{{x^4} + x - 1}} + {x^2} - 1 \ge 0\)

Chứng tỏ rằng x = -7 không phải là nghiệm của bất phương trình \(x + 3 - \frac{1}{{x + 7}} < 2 - \frac{1}{{x + 7}}\)nhưng lại là nghiệm của bất phương trình x + 3 < 2.

Xét xem x = -3 là nghiệm của bất phương trình nào trong hai bất phương trình sau 3x + 1 < x + 3 (1) và (3x + 1)² < (x + 3)² (2)

Từ đó suy ra rằng phép bình phương hai vế một bất phương trình không phải là phép biến đổi tương đương.

Tìm điều kiện của mỗi bất phương trình đã cho sau đây rồi cho biết các bất phương trình này có tương đương đương với nhau hay không:

\(\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  \ge x\,\,\left( 1 \right)\) và \(\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2}  \ge x\,\,\left( 2 \right)\)

Nếu nhân hai vế bất phương trình \(\frac{1}{x} \le 1\) với x ta được bất phương trình nào? Bất phương trình nhận được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Nếu bình phương hai vế (khử căn thức chứa ẩn) của bất phương trình \(\sqrt {1 - x}  \le x\) ta nhận được bất phương trình nào? Bất phương trình nhận được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) \({x^2} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\)

b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\)

c) \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) + x \le 3 + 2{x^2}\)

b) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - x > {x^3} + 6{x^2} - 5\)

c) \(x + \sqrt x  > \left( {2\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}  > 0\)

b) \(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 3} \right)}  > 0\)

Giải hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3x + 1}}{2} - \frac{{3 - x}}{3} \le \frac{{x + 1}}{4} - \frac{{2x - 1}}{3}\\
3 - \frac{{2x + 1}}{5} > x + \frac{4}{3}
\end{array} \right.\)

Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m.

    mx - m² > 2x - 4

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. Nếu cộng hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.

B. Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.

C. Nếu chia hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.

D. Nếu bình phương hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.

Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào có nghiệm?

A. \(\sqrt {2 - x}  + \sqrt {x - 4} \)

B. \(\sqrt {4 - x} \left( {\sqrt x  + 2} \right)\sqrt {x - 9}  < x - 1\)

C. \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  \ge 2\sqrt {{x^6} + 1} \)

D. \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt {{x^6} + 1} \)

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. \(x + 3 - \frac{1}{{x + 7}} < 2 - \frac{1}{{x + 7}} \Leftrightarrow x + 3 < 2\)

B. \(3x + 1 < x + 3 \Leftrightarrow {\left( {3x + 1} \right)^2} < {\left( {x + 3} \right)^2}\)

C. \(\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  \ge x \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2}  \ge x\)

D. \(7{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 > 0 \Leftrightarrow 2x + 1 > x\)

Tập nghiệm của bất phương trình sau là:

\(\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}  > 0\)

A. S = (-1; 4) ∪ (4; +∞)          B. S = [4; +∞)

C. S = [-1; +∞)                      D. S = (-1; +∞)

Một bạn tập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  < \left| x \right|\) luôn không âm nên bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương x - 1 < x².

Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?

Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\sqrt x  >  - \sqrt x \)

b) \(\sqrt {x - 3}  < 1 + \sqrt {x - 3} \)

c) \(x + \frac{1}{{x - 3}} \ge 2 + \frac{1}{{x - 3}}\)

d) \(\frac{x}{{\sqrt {x - 2} }} < \frac{2}{{\sqrt {x - 2} }}\)

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 \ge 0\) ?

\(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) và 

\(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge  - \frac{1}{{x + 3}}\)

Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).

a) x - 2 > 0 và x²(x - 2) < 0;

b) x - 2 < 0 và x²(x - 2) > 0;

c) x - 2 ≤ 0 và x²(x - 2) ≤ 0;

d) x - 2 ≥ 0 và x²(x - 2) ≥ 0.

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{{x + 2}}{3} - x + 1 > x + 3\)

b) \(\frac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \frac{{x + 2}}{3} + x\)

c) \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2 \)

d) \({\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2\)

Giải và biện luận các bất phương trình

a) \(mx\left( {x - m} \right) \le x - 1\)

b) \(mx + 6 > 2x + 3m\)

c) \(\left( {x + 1} \right)k + x < 3x + 4\)

d) \(\left( {a + 1} \right)x + a + 3 \ge 4x + 1\)

Giải các hệ bất phương trình 

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
5x - 2 > 4x + 5\\
5x - 4 < x + 2
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 > 3x + 4\\
5x + 3 \ge 8x - 9
\end{array} \right.\)

Giải và biện luận các bất phương trình sau: 

a) m(x - m) > 2(4 - x);

b) 3x + m2 ≥ m(x + 3);

c) k(x - 1) + 4x ≥ 5;

d) b(x - 1) ≤ 2 - x.

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{5x + 2}}{3} \ge 4 - x\\
\frac{{6 - 5x}}{{13}} < 3x + 1
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - x} \right)^2} > 5 + 3x + {x^2}\\
{\left( {x + 2} \right)^3} < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{4x - 5}}{7} < x + 3\\
\frac{{3x + 8}}{4} > 2x - 5
\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 2x - 3\\
3x < x + 5\\
\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3
\end{array} \right.\)

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau có nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2 >  - 4x + 5\\
3x + m + 2 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \le 0\\
m + x > 1
\end{array} \right.\)

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 7 < 8x - 1\\
 - 2x + m + 5 \ge 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\
2m - 5x \le 8
\end{array} \right.\)