Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S), đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + ax + by + cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {19} \), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 2 - 4t\\z = - 1 - 4t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y - 3z - 1 = 0\). Trong các số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn \(a + b + c + d = 43\), đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)?
- A. \(\left\{ { - 6; - 12; - 14;75} \right\}\)
- B. \(\left\{ {6;10;20;7} \right\}\)
- C. \(\left\{ { - 10;4;2;47} \right\}\)
- D. \(\left\{ {3;5;6;29} \right\}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A
Ta có \(I \in d \Rightarrow I\left( {5 + t;2 - 4t; - 1 - 4t} \right)\)

Do (S) tiếp xúc với (P) nên \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R = \sqrt {19} \Leftrightarrow \left| {19 + 19t} \right| = 19 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 2\end{array} \right.\)

Mặt khác \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - \frac{a}{2}; - \frac{b}{2}; - \frac{c}{2}} \right)\); bán kính \(R = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} - d} = \sqrt {19} \)

Xét khi \(t = 0 \Rightarrow I\left( {5; - 2; - 1} \right) \Rightarrow \left\{ {a;b;c;d} \right\} = \left\{ { - 10;4;2;47} \right\}\)

Do \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} - d \ne 19\) nên ta loại trường hợp này

Xét khi \(t = 2 \Rightarrow \left\{ {a;b;c;d} \right\} = \left\{ { - 6; - 12; - 14;75} \right\}\)

Do \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} - d = 19\) nên thỏa

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK