Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R=3

Câu hỏi:
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\). Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của \(F = 4a + 3b - 1\). Tính giá trị M + m
- A. \(M + m = 63\)
- B. \(M + m = 48\)
- C. \(M + m = 50\)
- D. \(M + m = 41\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B
Ta có phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\)

Do điểm A nằm trên đường tròn (C) nên ta có \({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 9\)

Mặt khác \(F = 4a + 3b - 1 = 4\left( {a - 4} \right) + 3\left( {b - 3} \right) + 24\)

\(F - 24 = 4\left( {a - 4} \right) + 3\left( {b - 3} \right)\)

Ta có \({\left[ {4\left( {a - 4} \right) + 3\left( {b - 3} \right)} \right]^2} \le \left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left[ {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \right] = 25.9 = 255\)

\( \Rightarrow - 15 \le 4\left( {a - 4} \right) + 3\left( {b - 3} \right) \le 15 \Leftrightarrow - 15 \le F - 24 \le 15 \Leftrightarrow 9 \le F \le 39\)

Khi đó \(M = 39,\,\,\,m = 9\)

Vậy \(M + m = 48\)

Cách 2:

Ta có \(F = 4a + 3b - 1 \Rightarrow a = \frac{{F + 1 - 3b}}{4}\)

\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 9 \Rightarrow {\left( {\frac{{F + 1 - 3b}}{4} - 4} \right)^2} + {b^2} - 6b + 9 = 9\)

\( \Leftrightarrow 25{b^2} - 2\left( {3F + 3} \right)b + {F^2} + 225 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( {3F + 3} \right)^2} - 25{F^2} - 5625\)

\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - 16{F^2} + 18F - 5625 \ge 0 \Leftrightarrow 9 \le F \le 39\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE