Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2

Giải bài 30 tr 67 sách GK Toán lớp 7 Tập 2

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC

 

Hướng dẫn giải chi tiết

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC, BG cắt AC tại N, CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow GA = \frac{2}{3}AM\)

Mà GA = GG' (G là trung điểm của AG') nên \( \ GG' = \frac{2}{3}AM\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow GB = \frac{2}{3}BN\)

Mặt khác: \( \ GM = \frac{1}{2}AG\) (G là trọng tâm)

AG = GG' (gt) \( \Rightarrow GM = \frac{1}{2}GG'\)

M là trung điểm GG'

Do đó \(\Delta GMC = \Delta G'MB\) vì: \(\left\{ \begin{array}{l} GM = MG'\\ MB = MC\\ \widehat {GMC} = \widehat {G'MB} \end{array} \right.\)

Mà \(CG = \frac{2}{3}CE\) (G là trọng tâm tam giác ABC)

\( \Rightarrow BG' = \frac{2}{3}CE\)

Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG' bằng \(\frac{2}{3}\) đường trung tuyến của tam giác ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC

Ta có: BM là đường trung tuyến của tam giác BGG'

mà M là trung điểm của BC nên \(BM = \frac{1}{2}BC\)

Vì \(IG = \frac{1}{2}BG\)  (I là trung điểm BG)

\(GN = \frac{1}{2}BG\) (G là trọng tâm)

Suy ra: IG = GN

Do đó: \(\Delta IGG' = \Delta NGA\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IG' = AN \Rightarrow IG' = \frac{{AC}}{2}\)

Gọi I là trung điểm BG, khi đó GI là trung tuyến của tam giác BGG'

Vì \(GE = \frac{1}{2}GC\) (G là trọng tâm tam giác ABC)

\( \Rightarrow GE = \frac{1}{2}BG\\\)

Mà I là trung điểm BG' suy ra KG'=EG

Vì \(\Delta GMC = \Delta G'BM\) (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (so le trong)

\( \Rightarrow CE\parallel BG' \Rightarrow \widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (đồng vị)

Do đó \(\Delta AGE = \Delta GG'K\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A{\rm{E}} = GK\)

Mà \(A{\rm{E}} = \frac{1}{2}AB\) nên  \(G{\rm{K}} = \frac{1}{2}AB\)

Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG' bằng một nửa cạnh của tam giác ABC

 

 

-- Mod Toán 7 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2 HAY thì click chia sẻ