Chứng minh 3 điểm P, M, Q thẳng hàng biết P và Q là trung điểm của AC và BD

a) Xét \(\Delta OAD,\Delta OCB\) có :

\(OA=OC\left(gt\right)\)

\(\widehat{O}:chung\)

\(OB=OD\left(gt\right)\)

=> \(\Delta OAD=\Delta OCB\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta OAC\) có :

OA= OC (gt)

=> \(\Delta OAC\) cân tại A

=> \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\) (Tính chất tam giác cân)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\\\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\end{matrix}\right.\left(cmt\right)\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAD}=\widehat{OAC}+\widehat{CAD}\\\widehat{OCB}=\widehat{OCA}+\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(\widehat{OAD}-\widehat{OAC}=\widehat{OCB}-\widehat{OCA}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\)

Hay : \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

=> \(\Delta MAC\) cân tại M => đpcm

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OC\\OB=OD\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}OB=OA+AB\\OD=OC+CD\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(OB-OA=OD-OC\)

\(\Leftrightarrow AB=CD\)

Xét \(\Delta MAB,\Delta MCD\) có:

\(AM=CM\) ( \(\Delta MAC\) cân tại M)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\) (đối đỉnh)

AB = CD (cmt)

=> \(\Delta MAB=\Delta MCD\left(c.g.c\right)\)

=> MB = MD (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta MBD\) cân tại M

b) Xét \(\Delta MAB\) có :

AP = CP (P là trung điểm của AC)

=> PM là trung tuyến trong \(\Delta MAB\) (1)

Xét \(\Delta MBD\) có :

BQ= DQ (Q là trung điểm của BD)

=> MQ là trung tuyến trong \(\Delta MBD\) (2)

Từ (1) và (2) => P, M , Q thẳng hàng. => đpcm