YOMEDIA
NONE

Chứng minh tổng các độ dài đường trung tuyến lớn hơn 3/4 chu vi tam giác

Chứng minh rằng tổng các độ dài đường trung tuyến của một tam giác lớn hơn \(\dfrac{3}{4}\)chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • A B C E D G M K

    Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:

    \(\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\)

    *Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC

    Trên tia đối của tia MA lấy MK sao cho MA = MK

    Xét tam giác BMK và CMA

    Ta có: MA = MK ( vẽ thêm )

    Góc BMK = góc AMC

    BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )

    => Tam giác BMK = CMA ( c-g-c )

    => BK = AC ( hai cạnh tương ứng )

    Xét tam giác ABK có:

    AK < AB + BK

    Mà AK = 2AM ; BK = AC

    => 2AM < AB + AC (1)

    Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)

    2CE < AC + BC (3)

    Cộng từng vế của (1),(2) và (3) ta được:

    2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)

    => AM + BD + CE < AB + AC + BC

    *Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE

    Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB

    Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)

    => 2/3(AM + BD) > AB

    Tương tự, ta có:

    2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC

    => 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

    <=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

    => AM + BD + CE > 3/4(AB + AC + BC)

    => Đpcm

      bởi Phuong Phuong 25/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF