Chứng minh tổng các độ dài đường trung tuyến lớn hơn 3/4 chu vi tam giác

Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:

\(\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\)

*Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC

Trên tia đối của tia MA lấy MK sao cho MA = MK

Xét tam giác BMK và CMA

Ta có: MA = MK ( vẽ thêm )

Góc BMK = góc AMC

BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )

=> Tam giác BMK = CMA ( c-g-c )

=> BK = AC ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác ABK có:

AK < AB + BK

Mà AK = 2AM ; BK = AC

=> 2AM < AB + AC (1)

Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)

2CE < AC + BC (3)

Cộng từng vế của (1),(2) và (3) ta được:

2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)

=> AM + BD + CE < AB + AC + BC

*Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE

Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB

Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)

=> 2/3(AM + BD) > AB

Tương tự, ta có:

2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC

=> 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

<=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

=> AM + BD + CE > 3/4(AB + AC + BC)

=> Đpcm