Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập - Hình học 7

Lý thuyết FAQ

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.

Tóm tắt lý thuyết

1. Tính chất của các điểm thuộc đường trung trực

Định lý 1: (Định lý thuận)

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Định lý 2: (Định lý đảo)

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì năm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có: tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2. Ứng dụng

Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng thước thẳng và compa; như sau:

* Lấy M làm tâm vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn \(\frac{1}{2}MN\). Lấy N làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó.

Hai cung tròn này có hai điểm chung là P, Q.

* Dùng thước vẽ đường thẳng PQ. Đó đường trung trực của đoạn thẳng MN.


Ví dụ 1: Cho \(\Delta ABC.\) Hãy tìm một điểm cách đều hai cạnh AB, AC và cách đều hai đỉnh A, B.

Giải

Mọi điểm trên đường phân giác của góc A thì cách đều hai cạnh AB, AC.

Mọi điểm trên đường trung trực của AB thì cách đều hai điểm A, B.

Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đường phân giác và đường trung trực nói trên.


Ví dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại điểm cách đều, ba điểm thẳng hàng.

Giải

Giả sử tồn tại điêm O cách đều ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Suy ra OA = OB = OC.

Vì OA = OB nên O nằm trên đường trung trực \({d_1}\) của AB.

Vì OB = OC nên O nằm trên đường trung trực \({d_2}\) của BC.

Do đó O là giao điểm của 2 đường trung trực \({d_1},{d_2}\) của AB và BC

Vì \({d_1} \bot AB,\,{d_2} \bot BC\) và A, B, C thẳng hàng nên \({d_1}//{d_2}\)tại O.

Vậy không có điểm nào cách đều ba điểm thẳng hàng.


Ví dụ 3: Cho m là đường trung trực của đoạn thẳng AB, C là điểm thuộc m. Gọi Cx là tia đối của tia CA, Cn là tia phân giác của góc BCx. Chứng minh rằng Cn vuông góc với m.

Giải

Gọi H là giao điểm của m và AB.

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHC\) có HA = HB (H là điểm nằm trên đường trung trực của AB)

\(\widehat {AHC} = \widehat {AHC} = {90^0}\)

CH là cạnh chung

Nên \(\Delta AHC = \Delta BHC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {BCH}\)

Nên CH là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Cn là tia phân giác của \(\widehat {BCx}\) (gt)

Như vậy m và Cn là hai tia phân giác của hai góc kề bù ACB và BCx nên \({C_n} \bot m.\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao điểm M cách đều hai điểm A, B.

Giải

Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

+ Nếu \(AB \bot d\) thì xy // d, ta không xác định được M.

+ Ngoài trường hợp \(AB \bot d\) luôn luôn xác định được điểm M, và M là điểm duy nhất.


Bài 2: Tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Giải

Nối BE và ED

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADE\) có:

AB = AE (gt)

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)).

AD cạnh chung

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADE\,\,(c.g.c)\)

Suy ra DB = DE

Lại có AB = AE

Do đó AB là đường trung trực của BE.

Vậy \(AD \bot BE.\)


Bài 3: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ \(MH \bot AB.\) Trên đoạn MH lấy điểm P. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BP với MA.

a. Chứng minh MH là phân giác góc AMB

b. Chứng minh MH là trung trực của đoạn thẳng EF

c. Chứng minh AF = BE.

Giải

a.

Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:

HA = HB (H là trung trực của AB)

\(\widehat {MHA} = \widehat {MHB}\,\,( = {90^0})\)

MH cạnh chung.

Nên \(\Delta MHA = \Delta MHB\,\,(c.g.c)\)

Suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}.\)

Vậy MH là phân giác của \(\widehat {AMB}\)

b.

Trên cạnh MB ta lấy E’ sao cho MF = ME’

Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E'MP\), có:

MF = ME’ (cạnh lấy điểm E’)

\(\widehat {FMP} = \widehat {E'MP}\) (do \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}\))

MP cạnh chung

Nên \(\Delta FMP = \Delta E'MP\,\,(c.g.c)\)

Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {E'PM}\,{\,^{(1)}}\)

Gọi giao điểm của FE’ với MH là K

Ta lại có \(\Delta PHA = \Delta PHB\,\,(c.g.c)\) (chứng minh tương tự như câu a)

Suy ra \(\widehat {APH} = \widehat {BPH}.\)

Mà \(\widehat {APH} = \widehat {EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {BPH} = \widehat {FPM}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {EPM}\,{\,^{(2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EPM} = \widehat {E'PM}\)

Hay E’ trùng với E

Do đó MF = ME (3)

Lại có PF = PE’ (do \(\Delta FMP = \Delta E'MP\))

Nên PF = PE (4) (Do E’ trùng với E)

c.

AF = AM – FM

BE = BM – EM

mà AM = BM (M thuộc trung trực AB)

FM = EM (cmt)

nên ta suy ra: AF = BE.

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em khái niệm Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập​​​ và các dạng toán liên quan. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 7 với những câu hỏi củng cố, bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Hình học 7 Chương 3 Bài 7 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 7.

-- Mod Toán Học 7 HỌC247

Được đề xuất cho bạn