Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Luyện tập - Hình học 7

Lý thuyếtBT SGK FAQ

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Luyện tập​​ cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.

Tóm tắt lý thuyết

 1. Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên.

* Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kể từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông hay mình chiếu của điểm A xuống đường thẳng d.

* Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

* Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:

* Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở  ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng:

* Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c. Nếu hai đường chiếu xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC.

Giải

Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý)

Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý)

Suy ra B’C’ < BC.


Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng:

a. \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)

b. Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L.

Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)

Giải

a. Ta có

AH là đường vuông góc

AB, AC là các đường xiên, nên:

AH < AB, AH < AC

Nên 2AH < AB + AC.

Hay \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)

b. Chứng minh tương tự như câu a, ta được: với BK, CL là các đường cao hạ từ B và C

\(\begin{array}{l}AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\\BK < \frac{1}{2}(BA + BC)\\CL < \frac{1}{2}(CA + CB)\end{array}\)

Từ ba điều trên ta suy ra: AH + BK + CL < AB + BC + CA


Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:

a. PA > CA

b. CP < CB

Giải

a. Ta có:

APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\)

Tam giác APC có:

\(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\)

b. Ta có: AP < AB (gt)

\( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý)

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC.

Giải

Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat C < \widehat B\) nên AB < AC

Trong hai đường xiên AB, AC hạ từ A xuống BC vì AB < AC suy ra BE < EC (định lý)

Trong hai đường xiên HB, HC hạ từ H xuống BC vì có BE < EC suy ra HB < HC (định lý)


Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a.

a. Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy.

b. Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.

Giải

a. Ta có MA là hình chiếu của AB trên a.

Xét hai tam giác AHB và CHA có:

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\)

b. a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.


Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH.

Chứng minh rằng \(DE \bot AC \Rightarrow BC + AH > AC + AB\)

Giải

Theo giả thiết BD = AB nên \(\Delta ABD\) cân tại B

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BDA}\)

Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAE} = {90^0}\)và \(\widehat {BDA} = \widehat {DAM} = {90^0}\) (vì tam giác AHD vuông tại H)

\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DAH}\)

Do đó \(\Delta DAE = \Delta DAH\)

\((AE = AH;\widehat {DAE} = \widehat {DAH}\) và AD chung)

\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AED} = {90^0}\) hay \(DE \bot AC\)

\( \Rightarrow CD > CE\)

Lại có: BD = BA; AH = AE (giả thiết)

\( \Rightarrow CD + BD + AH > CE + AE + BA\)

Hay BC + AH > AC + AB

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em khái niệm Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Luyện tập​​ và các dạng toán liên quan. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 2 với những câu hỏi củng cố, bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Hình học 7 Chương 3 Bài 2 cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 7.

-- Mod Toán Học 7 HỌC247

Được đề xuất cho bạn