Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = x^{3}\) tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số \(y = x^{n}\) (\(n \in N\))

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{x}\) tại điểm x>0.

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = x^{3} + x^{2} \)tại điểm x bất kì.

b) So sánh: \( (x^{3} + x^{2})'\) và \((x^{3})' +(x^{2})'\).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}\)

b) \(y=(\sqrt{x}+1)(x^{2}+2)\)

Cho các hàm số \(y=u^{2}\) và \(u=x^{2}+1\)

a) Viết công thức của hàm số hợp y = \((u(x))^{2}\) theo biến \(x\).

b) Tính và so sánh: \(y'(x) \) và \( y'(u).u'(x).\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=(2x-3)^{10}\)

b) \(y=\sqrt{1-x^{2}}\)

a) Với \(h\neq 0\), biến đổi hiệu \(sin(x + h)- sin x\) thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin h}{h}=1\) và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số \(y=sin x\) tại điểm \(x\) bằng định nghĩa

Tính đạo hàm của hàm số \(y=sin (\frac{\pi }{3}-3x)\)

Bằng cách viết \(y=cosx=sin (\frac{\pi }{2}-x)\) tính đạo hàm của hàm số \(y = cosx\).

Tính đạo hàm của hàm số \(y=2cos (\frac{\pi }{4}-2x)\)

a) Bằng cách viết \(y=tanx=\frac{sinx}{cosx}(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z})\), tính đạo hàm của hàm số \(y=tanx\)

b) Sử dụng đẳng thức \(x=tan(\frac{\pi }{2})-x\) với \(x\neq \pi (k\in \mathbb{Z}))\), tính đạo hàm của hàm số \(y = cotx.\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y=2tan^{2}x+3cot(\frac{\pi }{3}-2x)\)

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến \( t=\frac{1}{x}\), tìm giới hạn \( \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)

b) Với \(y=(1+ x)^{\frac{1}{x}}\), tính ln y và tìm giới hạn của \(\lim_{x\rightarrow 0}lny\).

c) Đặt \(t=e^{x}-1\). Tính x theo t và tìm giới hạn \(lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}\)

a) Sử dụng giới hạn \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h-1}}{h}=1\) và đẳng thức \(e^{x+h}-e^{x}=e^{x}(e^{h}-1)\), tính đạo hàm của hàm số \(y=x^e\) tại x bằng định nghĩa

b) Sử dụng đẳng thức \(a^{x}=e^{xlna}(0< a\neq 1)\), hãy tính đạo hàm của hàm số \(y=a^{x}\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = e^{x^{2}-x}\)

b) \(y=3^{sinx}\)

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn \(\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1\) và đẳng thức \(ln(x+h)-ln{x}=ln(\frac{x+h}{x})=ln(1+\frac{h}{x})\) tính đạo hàm của hàm số \(y =\ln x\) tại điểm \(x > 0\) bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức \(\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}(0< a\neq 1)\), hãy tính đạo hàm của \(y=\log_{a}x\)

Tính đạo hàm của hàm số \(\log_{2}(2x-1)\)

Ta đã biết, độ \(pH\) của một dung dịch được xác định bởi \(pH=-log[H^{+}]\), ở đó \([H^{+}]\) là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đỏi của \(pH\) đối với nồng độ \([H^{+}]\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=x^{3}-3x^{2}+2x+1\)

b) \(y=x^{2}-4\sqrt{x}+3\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)\(y=\frac{2x-1}{x+2}\)

b) \(y=\frac{2x}{x^{2}+1}\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=xsin^{2}x\)

b) \(y=cos^{2}x+sin2x\)

c) \(sin3x-3sinx\)

d) \(tanx+cotx\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=2^{3x-x^{2}}\)

b) \(y=log_{3}(4x+1)\)

Cho hàm số \(f(x)=2sin^{2}(3x-\frac{\pi }{4}). Chứng minh rằng \(\left | f'(x)\leq 6 \right |\) với mọi \(x\).

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h(t)= 100 – 4,9t^{2}\), ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm \(t = 5\) giây

b) Khi vật chạm đất.

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi \(s(t)=12+0,5 sin(4\pi t)\), trong đó \(s\) tính bằng centimét và \(t\) tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau \(t\) giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\);

b) \(y = {\left( {{x^2} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^3}\).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 2}}\);

b) \(y = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) và \(g\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt x }} + {x^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right) - g'\left( 1 \right)\)?

Tính đạo hàm của hàm số \(y = 3\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 2\cot \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)?

Cho hàm số \(f(x) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\). Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và chứng tỏ \(f'\left( x \right) = 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\). Chứng minh rằng \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tìm \(x\) để \(f'\left( x \right) = 8\)?

Biết \(y\) là hàm số của \(x\) thoả mãn phương trình \(xy = 1 + \ln y\). Tính \(y'\left( 0 \right)\)?

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là \({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) (bỏ qua sức cản của không khí) thì độ cao \(h\) của vật (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi công thức \(h = {v_0}t - \frac{1}{2}g{t^2}\) ( \(g\) là gia tốc trọng trường). Tìm vận tốc của vật khi chạm đất?

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = 10 + \sqrt 2 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(s\) tính bằng centimét và \(t\) tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau \(t\) giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)