Hoạt động 9 trang 93 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số bằng đinh nghĩa.

Lời giải chi tiết

a) \(y'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^e-x^e}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln(x+h)}-e^{e\ln x}}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-e^{e\ln x}}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-1\right)}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\left(\frac{h}{x}+\mathcal{O}(h^2)\right)}-1\right)}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\frac{h}{x}}-1\right)}{h} \)

\(=e^{e\ln x}\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\frac{h}{x}}-1}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}\)

\(=x^e\lim_{h\to 0} \frac{e^{h/x}-1}{h/x}\cdot\frac{1}{x} \quad\text{(đặt \(u=h/x\))}\)

\(=x^e\lim_{u\to 0} \frac{e^u-1}{u}\cdot\frac{1}{x}\)

\(=\frac{x^e}{x}\)

b) \(y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)\ln a}-e^{x\ln a}}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x\ln a}\left(e^{h\ln a}-1\right)}{h}\)

\(=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}\)

\(=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h\ln a}\cdot\ln a\)

\(=a^x\cdot\ln a\)

-- Mod Toán 11 HỌC247