Gửi đến các em một tài liệu cực kỳ hữu ích và giá trị - Tóm tắt nội dung bài Hai mặt phẳng vuông góc môn Toán lớp 11 Kết Nối Tri Thức, HOC247 hy vọng rằng bài giảng sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc và một số hình khối đặc biệt. Chúc các em có những trải nghiệm học tập thật sự thú vị và đầy năng lượng.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
|
- Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). - Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°. |
Chú ý: Nếu \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì 0 \(\le \varphi \le\)90°.
1.2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
| Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. |
1.3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc
|
Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất ki đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia. |
Nhận xét: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thi đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).
|
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. |
1.4. Góc nhị diện
| Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q] . Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó. |
| Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q]. |
Chú ý:
- Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90°.
- Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.
- Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.
1.5. Một số hình lăng trụ đặc biệt
a) Hình lăng trụ đứng
- Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
b) Hình lăng trụ đều
- Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đây là đa giác đều có đều.
- Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hinh chữ nhật có cùng kích thước.
c) Hình hộp đứng
- Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đây là hình bình hành.
- Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.
d) Hình hộp chữ nhật
- Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
- Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật. Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
e) Hình lập phương
- Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
- Hình lập phương có các mặt là các hình vuông.
Chú ý: Khi đáy của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác... đôi khi ta cũng tương ứng gọi rõ là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, từ giác, ngũ giác,...
1.6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
- Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý. Tương tự như đối với hình chóp, khi đáy của hình chóp đều là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,... đôi khi ta cũng gọi rõ chúng tương ứng là chóp tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều,...
- Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đây là tâm của mặt đáy.
b) Hình chóp cụt đều
- Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
- Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
Bài tập minh họa
Câu 1:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Hướng dẫn giải
.png)
Kẻ \(BH \bot A'C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A'C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA') \Rightarrow BD \bot A'C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A'C \bot (BDH) \Rightarrow A'C \bot DH\)
Do đó: \((\widehat {(BA'C),(DA'C)}) = (\widehat {HB,HD})\)
Xét tam giác BCA' ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{'^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} - B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\)
Vậy: \(\widehat {((BA'C),(DA'C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
Câu 2:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Hướng dẫn giải
.png)
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB' = \sqrt {B'C{'^2} + IC{'^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)
Luyện tập Bài 25 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc. Xác định điều kiện hai mặt phẳng vuông góc. Giải thích tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc.
- Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện, tính góc phẳng nhị diện. Giải thích tính chất cơ bản của hình chóp đều, hình lăng trụ đứng. Vận dụng kiến thức của bài học để mô tả một số hình ảnh thực tế.
3.1. Trắc nghiệm Bài 25 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 25 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
- D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
-
- A. Góc \(SBA\).
- B. Góc \(SCA\).
- C. Góc \(SCB\).
- D. Góc \(SIA\).
-
- A. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là góc \(\widehat{ABS}\).
- B. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là góc \(\widehat{SOA}\).
- C. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là góc \(\widehat{SDA}\).
- D. \(\left( SAC \right)\bot \left( SBD \right)\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 25 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 25 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 44 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 45 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 45 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 46 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 46 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 46 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 47 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 5 trang 47 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 4 trang 48 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng 1 trang 48 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 6 trang 49 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 7 trang 49 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 8 trang 49 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 9 trang 50 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 10 trang 50 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng 2 trang 50 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 11 trang 51 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 12 trang 51 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 5 trang 51 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 13 trang 52 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.16 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.17 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.18 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.20 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.21 trang 53 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Bài tập 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.20 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.26 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Hỏi đáp Bài 25 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
