Luyện tập 4 trang 48 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất của hai mặt phằng vuông góc.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(\widehat{SAB} = \widehat{SAC} = 30^{\circ}\).

Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác đều với \(AB = AC = a\). Khi đó, \(BM = CM = \frac{a}{2}\) và \(SM \perp (ABC)\) vì \(SM\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Do đó, tam giác \(SMB\) và tam giác \(SMC\) là hai tam giác cân với \(SM\) là đường trung trực của \(BC\).

Vì vậy, \(\widehat{SMB} = \widehat{SMC}\).

Từ đó, suy ra \(\widehat{SMA} = 180^{\circ} - 2\widehat{SMB} = 180^{\circ} - 2\widehat{SMC}\), tức là \(\widehat{SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \([S, BC, A]\).

b) Gọi I là trung điểm của SA. Ta có \(\widehat{BAC}=120^{\circ} \) , nên tam giác ABC là tam giác đều.

Khi đó, BC=a nên ta có 

\(MI = \frac{1}{2}SI=\frac{a}{4\sqrt{3}} \)

\(MA=\sqrt{MI^{2}+IA^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{4\sqrt{3}}})^{2}+(\frac{a}{2\sqrt{3}})^{2}=\frac{a}{2}\)

Suy ra, tam giác SMA cũng là tam giác đều. Do đó, góc SMA có số đo là \(60^{\circ}\)

\(\widehat{SMB} +\widehat{BMA}+\widehat{AMS}=180^{\circ}\) 

Vì BM là đường trung trực của AC, nên \(\widehat{BMA}=\(\widehat{CMA}=30^{\circ}\)

Suy ra: \(\widehat{SMB} = 180^{\circ} - \widehat{BMA} - \widehat{AMS} = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}.\)

Vậy, góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là \(90^{\circ}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247