HOC247 xin giới thiệu đến các em Tóm tắt bài giảng Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng môn Toán lớp 11 Kết Nối Tri Thức. Thông qua bài này các em sẽ có được kiến thức cơ bản về Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tính chất và liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Chúc các em học tập thật hiệu quả cùng HOC247 nhé!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
|
Đường thẳng \(\Delta\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu \(\Delta\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). |
Chú ý: Khi \(\Delta\) vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với \(\Delta\) hoặc \(\Delta\) và (P) vuông góc.
|
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. |
1.2. Tính chất
|
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. |
Nhận xét: Nếu ba đường thẳng đối một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng A thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với A (H.7.17).
Chú ý. Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.
|
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. |
1.3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
a) Tính chất 1
|
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với (P). |
\(\left. \begin{array}{l} a \bot (P)\\ b//a \end{array} \right\} \Rightarrow b \bot (P)\).
|
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. |
\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ b \bot (\alpha )\\ a \ne b \end{array} \right\} \Rightarrow a//b\).
b) Tính chất 2
|
Nếu đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\Delta\) cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P). |
\(\left. \begin{array}{l} \Delta \bot (P)\\ \left( P \right)//\left(Q\right) \end{array} \right\} \Rightarrow\Delta\bot \left( Q \right)\).
|
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. |
\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ a \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).
c) Tính chất 3
|
Nếu đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\Delta\) vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P). |
\(\left. \begin{array}{l} \Delta\bot (P)\\ a// (P)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot a\).
|
Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta\) thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P). |
\(\left. \begin{array}{l} a \bot b\\ b \bot \left(P\right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a \subset \left( P\right) \\ a // \left( P\right)\end{array}\right.\).
Bài tập minh họa
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, \(SA \bot (ABC).\)
a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)
c) Gọi (P) là mặt phẳng qua AE và vuông góc với SB, (P) giao với SB tại D. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)
Hướng dẫn giải
.png)
a) Ta có: \(BC \bot AC{\rm{ }}(gt){\rm{ (1)}}\)
Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
b) Ta có: \(AE \bot SC{\rm{ (3) (gt)}}\)
Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC{\rm{ (4)}}\)
Từ (3) (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)
c) Ta có mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (ADE).
Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA{\rm{ (5)}}\)
Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB{\rm{ (6)}}\).
Từ (5) (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD(1)\)
Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.
Do đó, \(\widehat {ACI} = {45^0}.\) (*)
Mặt khác tam giác CID vuông cân tại I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}.\) (**)
Từ (*) (**) suy ra: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).
Hay tam giác SCD vuông tại C.
Luyện tập Bài 23 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Giải thích và vận dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng vào thực tế.
3.1. Trắc nghiệm Bài 23 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 23 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
Câu 1:
Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó a⊥(P). Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A. Nếu b⊥(P) thì b//a
- B. Nếu b//(P) thì b⊥a
- C. Nếu b//a thì b⊥(P)
- D. Nếu b⊥a thì b//(P).
-
Câu 2:
Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Nếu đường thẳng d⊥(α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α).
- B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d⊥(α).
- C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì dd vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α).
- D. Nếu d⊥(α) và đường thẳng a//(α) thì d⊥a.
-
Câu 3:
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. Vô số
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 23 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 23 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 32 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 33 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 33 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 5 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 6 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 7 trang 35 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 8 trang 35 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 9 trang 35 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 10 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.5 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.6 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.7 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.8 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 7.9 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Bài tập 7.6 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.8 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.9 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.10 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 7.12 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Hỏi đáp Bài 23 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
