Toán 11 Kết nối tri thức Bài 26: Khoảng cách

Cho mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), điểm A không thuộc mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), E là điểm thuộc AM sao cho: \(\frac{{ME}}{{MA}} = k.\)

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Hướng dẫn giải:

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\) nên: d(A,\(\left (\alpha \right )\)) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Khi đó:  d(E, \(\left (\alpha \right )\)) = EP.

Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp \(\left (\alpha \right )\)) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta có: 

\(\frac{{EP}}{{AH}} = \frac{{ME}}{{MA}}=k\)

Khi đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

\(d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h\) (áp dụng kết quả (1) với \(k=\frac{1}{2}\)).

c) Ta có: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó: \(d(J,\left( \alpha \right)) = d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h.\)

d) D là trung điểm của JC nên \(\frac{CD}{CJ}=\frac{1}{2}.\)

Suy ra: \(d(Q,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}d(J,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.h = \frac{1}{4}.h\).

Câu 2:

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) \(\bot\) (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).

a) Theo giả thiết ta có: \(SA \bot (ABC)\).

Suy ra \(SA \bot BC\) (1).

Mà \(AB \bot BC\) (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(BC \bot (SAB)\Rightarrow (SBC) \bot (SAB).\)

b) Ta có: \((SAB)\cap (SBC)=SB\).

Kẻ \(AH \bot SB (H\in SB).\)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Khi đó: \(AH \bot (SBC)\) nên \(d(A, (SBC))=AH\).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

c) Ta có: \(AB\cap (SBC)=B\) và \(\frac{BI}{BA}=\frac{1}{2}\) (do I là trùng điểm của AB) nên:

\(d(I,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Học xong bài học này, em có thể:

- Xác định khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

- Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong các trường hợp đơn giản. Vận dụng kiến thức về khoảng cách vào một số tinh huống thực tế.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 26 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong  mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
  • B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).
  • C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.
  • D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

• Câu 2:

  Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai cạnh đối \(AB\) và \(CD\) là đoạn nào sau đây

  • A. MN
  • B. AM
  • C. BM
  • D. AD

• Câu 3:

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
  • B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
  • C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
  • D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 26 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 57 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Khám phá trang 58 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải Bài 7.22 trang 59 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải Bài 7.23 trang 59 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải Bài 7.24 trang 59 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải Bài 7.25 trang 59 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải Bài 7.26 trang 59 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải Bài 7.27 trang 59 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Bài tập 7.27 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 7.28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 7.29 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 7.30 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 7.31 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 7.32 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!