Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 9

Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm \(A(2;1), B(1;4), C(4;5), D(5;2)\)

a) Chứng minh ABCD là một hình vuông

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD

Cho AB và CD là hai dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O) . Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ mặt phẳng để chứng minh EF vuông góc với DB

Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({d_1}:x - y + 2 = 0\) và \({d_2}:x + y + 4 = 0\)

b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x - 3y + 2 = 0\)

c)  \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y = 3 + t'\end{array} \right.\)

Tính bán kính của đường tròn tâm \(M( - 2;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:14x - 5y + 60 = 0\)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: \(\Delta :6x + 8y - 13 = 0\) và \(\Delta ':3x + 4y - 27 = 0\)

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 64\)

b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\)

c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\)

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm \(I( - 2;4)\) và bán kính bằng 9

b) Có tâm \(I(1;2)\) và đi qua điểm \(A(4;5)\)

c) Đi qua hai điểm \(A(4;1),B(6;5)\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(4x + y - 16 = 0\)

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 100\) tại điểm \(M(11;11)\)

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

c) \({x^2} + 16{y^2} = 16\)

Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh \((5;0),(0;4)\)

b) Đỉnh \((5;0)\), tiêu điểm \((3;0)\)

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

b)  \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

c) \({x^2} - 16{y^2} = 16\)

d) \(9{x^2} - 16{y^2} = 144\)

Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Đỉnh \((3;0)\), tiêu điểm \((5;0)\)

b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6

Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \({y^2} = 12x\)

b) \({y^2} = x\)

Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm \((4;0)\)

b) Đường chuẩn có phương trình \(x =  - \frac{1}{6}\)

c) Đi qua điểm \((1;4)\)

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8

Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm. Tính khoảng cách AB

Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một đường ống nằm ở tiêu điểm của parabol

a) Viết phương trình chính tắc của parabol

b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol

Cổng trời của một thành phố dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc kẻ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng

Một người đứng giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng dàn giáo dài 16m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa của ván gỗ) là 3 cm (hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol

a) Giả sử tâm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol

b) Điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ bao xa? 

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;7} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là:

A. \({90^ \circ }\)   

B. \({60^ \circ }\) 

C. \({45^ \circ }\) 

D. \({30^ \circ }\)

Cho hai điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. 4  

B. 6  

C. \(3\sqrt 6 \)      

D. \(2\sqrt {13} \)

Trong tam giác ABC có \(A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {1; - 1} \right)\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau

B. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn

C. ABC là tam giác cân tại B (BA = BC)

D. ABC là tam giác vuông cân tại A

Cho phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\). Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d):

A. \(2x + y - 1 = 0\)        

B. \(2x + 3y + 1 = 0\)     

C. \(x + 2y + 2 = 0\)       

D. \(x + 2y - 2 = 0\)

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và song song với đường thẳng \(d:4x + 2y + 1 = 0\) có phương trình tổng quát là:

A. \(4x + 2y + 3 = 0\)     

B. \(2x + 4y + 4 = 0\)     

C. \(2x + y - 2 = 0\)        

D. \(x - 2y + 3 = 0\)

Bán kính của đường tròn tâm \(I\left( {0; - 2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 23 = 0\) là:

A. 15

B. 5  

C. \(\frac{3}{5}\) 

D. 3

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\). Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?

A. \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 5\)   

C. \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;2} \right)\)

D. \(\left( C \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {3;4} \right)\) Với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0\):

A. \(x + y - 7 = 0\)

B. \(x + y + 7 = 0\)

C. \(x - y - 7 = 0\) 

D. \(x + y + 3 = 0\)

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(\left( { - 3;0} \right),\left( {3;0} \right)\) và hai tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right),\left( {1;0} \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)    B. \(\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)  C. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\)    D. \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Phương trình chính tắc của hypebol có hai đỉnh \(\left( { - 4;0} \right),\left( {4;0} \right)\) và hai tiêu điểm là \(\left( { - 5;0} \right),\left( {5;0} \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)    

B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)  

C. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)

Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(\left( {2;0} \right)\) là:

A. \({y^2} = 8x\)  

B. \({y^2} = 4x\)  

C. \({y^2} = 2x\)  

D. \(y = 2{x^2}\)

Elip với độ dài hai trục là 20 và 12 có phương trình chính tắc là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\)   

B. \(\frac{{{x^2}}}{{1600}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)     

C. \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) 

D. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 1;1} \right)\)

a) Chứng minh OABC là một hình chữ nhật

b) Tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật OABC

Tìm góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

a) \({d_1}:5x - 9y + 2019 = 0\) và \({d_2}:9x + 5y + 2020 = 0\)

b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 9t\\y = 7 + 18t\end{array} \right.\) và \({d_2}:4x - 12y + 13 = 0\)

c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 - 5t\\y = 13 + 9t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + 10t\\y = 11 - 18t\end{array} \right.\)

Cho tam giác ABC với tọa độ ba đỉnh là \(A\left( {1;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {1;3} \right)\). Tính độ dài đường cao AH 

Tính bán kính của đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:8x - 6y + 22 = 0\)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':ax + by + d = 0\) (biết \(\Delta //\Delta '\))

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn trong các trường hợp sau:

a) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 225\)

b) \({x^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 5\)

c) \({x^2} + {y^2} - 10x - 24y = 0\)

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm \(I\left( {2;2} \right)\) và bán kính bằng 7

b) Có tâm \(J\left( {0; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 7} \right)\)

c) Đi qua hai điểm \(A\left( {2;2} \right),B\left( {6;2} \right)\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(x - y = 0\)

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là 8, tung độ là 6

Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\) tại điểm \(A\left( {4;5} \right)\)

Gọi tên các đường conic sau:

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ các elip sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)  

b) \({x^2} + 4{y^2} = 1\)

Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Độ dài trục lớn 26, độ dài trục nhỏ 10

b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự 6

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo các hypebol sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)   

b) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Đỉnh \(\left( { - 6;0} \right)\) và \(\left( {6;0} \right)\); tiêu điểm \(\left( { - 10;0} \right)\) và \(\left( {10;0} \right)\)

b) Độ dài trục thực là 10, độ dài trục ảo là 20

Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \({y^2} = 4x\)   

b) \({y^2} = 2x\)  

c) \({y^2} =  - 6x\)

Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn các điều kiện:

a) Tiêu điểm \(\left( {8;0} \right)\)

b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4

Một nhà mái vòm có mặt cát hình nửa elip cao 6 m, rộng 16 m

a) Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân vách 4 m lên trên mái vòm

Cho biết Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo Elip (E) với Trái Đất là 1 tiêu điểm. Cho biết độ dài hai trục của \(\left( E \right)\) là 768 800 km và 767 619 km. Viết phương trình chính tắc của elip (E)

Gương phản chiếu của một đèn pha có mặt cắt là một parabol (P) với tim bóng đèn đặt ở tiêu điểm F. Chiều rộng giữa hai mép gương là 50 cm, chiều sâu của gương là 40 cm. Viết phương trình chính tắc của (P)

Màn hình của rada tại trạm điều khiển không lưu được thiết lập hệ tọa độ \(Oxy\) với vị trí trạm có tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và rada có bán kính hoạt động là 600 km. Một máy bay khởi hành từ sân bay lúc 8 giờ. Cho biết sau t giờ máy bay có tọa đô: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 180t\\y = 1 - 180t\end{array} \right.\)

a) Tìm tọa độ máy bay lúc 9 giờ

b) Tính khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu

c) Lúc mấy giờ máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rada