Bài tập 7.2 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

a) Thay \(m=2\) và giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

b) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Lời giải chi tiết

a) Khi \(m = 2\) ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1}  - 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)

Ta có: \(x + 2\sqrt {x - 1}  - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  - 2 = 0\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 2 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr 
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr 
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)

\({t_2} =  - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại

\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr 
& \Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr 
& \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \)

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \)

b) \(x + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 11 = 0\).

Điều kiện \(x \ge 1\)

\( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

\(a = 1 > 0;c =  - {m^2} + 6m - 10 =  - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) =  - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) nên \(c < 0 \)

\(⇒ a\) và \(c\) khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt \(t_1\) và \(t_2\) trái dấu nhau.

Giả sử \(t_1>0\) thì \(\sqrt {x - 1}  = t_1\Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\ge 1\) (thỏa mãn điều kiện) 

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.

-- Mod Toán 9 HỌC247