Bài tập 7.3 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

- Biến đổi phương trình về 

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

- Nhận xét phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

- Phương trình đã cho có \(\displaystyle 3\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm duy nhất không trùng với hai nghiệm của (1) hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là nghiệm của (1).

Lời giải chi tiết

Phương trình:

\(\displaystyle \eqalign{
& \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr 
{{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)

Ta xét phương trình (1): \(\displaystyle {x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)

\(\displaystyle {\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi \(\displaystyle m\)

Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta xét phương trình (2): \(\displaystyle {x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) 

\(\displaystyle \eqalign{
& {\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr 
& = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr 
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \(\displaystyle {\Delta _2}' \ge 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)

Vì \(\displaystyle {m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} \) \(\displaystyle = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)

\(\displaystyle  \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1\)

Vậy với \(\displaystyle m ≥ -1\) thì phương trình (2) có nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (2) có \(\displaystyle 1 \) nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).

Ta có: \(\displaystyle {\Delta _2}' = 0\) suy ra \(\displaystyle m = -1\) và nghiệm kép phương trình (2) là: \(\displaystyle x = 2\)

Khi đó, \(\displaystyle x = 2\) không được là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: 

\(2^2 - 2m.2 - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle 4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr 
& \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \)

loại vì \(\displaystyle m = -1\)

Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(\displaystyle x_1\) và \(\displaystyle x_2\) trong đó có \(\displaystyle 1\) nghiệm giả sử là \(\displaystyle x_1\) cũng là nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (2) có \(\displaystyle 2\) nghiệm phân biệt \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\)

Và gọi \(x_1\) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2), ta có:

\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr 
{{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)

\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right)({x_1} -\left( {{m^2} + 1} \right)) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 (m\ne 2) \cr} \)

Vì \(\displaystyle x_1\) cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \(\displaystyle {x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0 \cr} \)

(vì \(\displaystyle {m^2} + 1 > 0\) )

\(\displaystyle \eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr 
{m = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Vì \(\displaystyle m > -1\) nên \(\displaystyle m = -1\) loại

Vậy \(\displaystyle m = 3 \) (thỏa mãn).

Thay \(\displaystyle m = 3\) vào phương trình (1) và (2) ta có:

Phương trình (1): \(\displaystyle {x^2} - 6x - 40 = 0\)

Phương trình (2): \(\displaystyle {x^2} - 4x - 60 = 0\)

Giải phương trình (1):

\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 6x - 40 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( { - 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr 
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr 
& {x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \cr} \)

Giải phương trình (2):

\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 4x - 60 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \cr 
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr 
& {x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có đúng \(\displaystyle 3\) nghiệm khi \(\displaystyle m = 3\)

-- Mod Toán 9 HỌC247