Bài tập 2.12 trang 49 SBT Hình học 12

Theo giả thiết ta có tam giác đáy ABC là tam giác đều.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC và O là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta có SA = a. Đặt OI = r , SO = h , ta có AO = 2r và \(\widehat {SIA} = \alpha \)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{h = r\tan \alpha }\\
{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}
\end{array}} \right.\)

Vậy \({a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha  + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha  + 4)\)

Ta suy ra \(r = \frac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\) và \(h = \frac{{a.\tan \alpha }}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\)

Gọi S_xq là diện tích xung quanh của hình trụ ta có công thức \({S_{xq}} = 2\pi rl\) trong đó \(r = \frac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\) và \(l = h = \frac{{a\tan \alpha }}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}\)

Vậy \({S_{xq}} = 2\pi .\frac{{{a^2}\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha  + 4}}\)

Các mặt bên SAB, SBC, SCA là những phần của ba mặt phẳng không song song với trục và cũng không vuông góc với trục nên chúng cắt mặt phẳng xung quanh của hình trụ theo những cung elip. Các cung này có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) tạo nên đường tròn đáy của hình trụ.

-- Mod Toán 12 HỌC247