Hỏi đáp về Mặt tròn xoay - Hình học 12

a) Đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) nằm trên mặt cầu.

b) \(AB\) là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) \(AB\) không  phải là đường kính của mặt cầu.

d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC)\)

Cho một điểm \(A\) cố định và một đường thẳng \(a\) cố định không đi qua \(A\). Gọi \(O\) là một điểm thay đổi trên \(a\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(r = OA\) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. 

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với \(6\) cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau. 

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a, AB = b, AD = c\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. 

Gọi mặt cầu \(S(O; r)\) tiếp xúc với \((P)\) tại \(I\). Gọi \(M\) là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với \(I\) qua tâm \(O\). Từ \(M\) kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt \((P)\) tại \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng \( \widehat{AMB}= \widehat{AIB}\). 

Hãy tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. 

Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước. 

Với hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. 

Hãy tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới một góc vuông. 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với \(6\) mặt của hình lập phương. 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với \(12\) cạnh của hình lập phương.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua \(8\) đỉnh của hình lập phương. 

Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó. 

Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước. 

Cho hình trụ có bán kính \(r\) và có chiều cao cũng bằng \(r\). Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh \(BC\) và \(AD\) không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.  

Cắt hình nón đỉnh \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt2\). Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng. 

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \((O;r)\) và \((O';r)\). Khoảng cách giữa hai đáy là \(OO' = r.\sqrt3\). Một hình nón có đỉnh là \(O'\) và có đáy là hình tròn \((O;r)\). Gọi \(S_1\) là diện tích xung quanh của hình trụ và \(S_2\) là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \({{{S_1}} \over {{S_2}}}\). 

Một hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h = r\sqrt3\). Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(30^0\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ. 

Một hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h = r\sqrt3\). Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. 

Một hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h = r\sqrt3\). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. 

Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh \(2a\). Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. 

Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) và có khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7 cm\). Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục \(3 cm\). Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. 

Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) và có khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7 cm\). Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. 

Trong không gian cho hai điểm \(A, B\) cố định và có độ dài \(AB = 20 cm\). Gọi \(d\) là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua \(A\) và cách \(B\) một khoảng  bằng \(10 cm\). Chứng tỏ rằng đường thẳng \(d\) luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.