Bài tập 19 trang 60 SGK Hình học 12 NC

a)

Hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy là (O; r). Lấy điểm M trên (O; r) thì ΔSOM vuông tại O.

SO là trục của đường tròn (O; r) nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi I thuộc SO và cách đều hai điểm S, M. Vậy I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SM. Mặt cầu tâm I bán kính R = IS là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b)

Kẻ đường kính SS′ của mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS′ > h)

ΔMSS′ vuông tại M có đường cao MO = r.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{O^2} = OS.OS\prime  \Rightarrow {r^2} = h(SS\prime  - h)\\
 \Rightarrow SS\prime  = \frac{{{r^2}}}{h} + h = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{h}
\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón: 

\(R = \frac{1}{2}SS\prime  = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}\)

c) Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu bán kính R thì theo câu b) ta có hệ thức r²  = h(2R−h).

Vậy \(r = \sqrt {h(2R - h)} \)

Độ dài đường sinh: 

\(l = SM = \sqrt {SO.SS\prime }  = \sqrt {2R.h} \)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h(2R - h)} .\sqrt {2Rh} \\
 = \pi h\sqrt {2R(2R - h)} 
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247