Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

Cho dãy số (\({u_n}\)­) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}} = 0\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\lim\limits_{n\to\infty}{v_n}\)­.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3\).

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng 2323 độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({{u_n}}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Cho hai dãy số (\({u_n}\)­) và (\({v_n}\)­) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\).

Tính và so sánh: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\).

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\)

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂, ..., u_n, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

b) Tìm S =\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {S_n}\).

Tính tổng \(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} +  \ldots  + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots \)

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100(km)

a) Tính thời gian \({t_1},\:{t_2}, \ldots ,{t_n}, \ldots \) tương ứng để Achilles đi từ \({A_1}\) đến \({A_2}\), từ \({A_2}\) đến \({A_3}\),…, từ \({A_n}\) đến \({A_{n+1}}\),…

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2},\:{A_2}{A_3}, \ldots ,\:{A_n}{A_{n + 1}}\),… tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn u_n sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right)\).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\)

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\)

Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\);

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1}  - n\).

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ \(A{A_1} \bot BC\), từ A₁ kẻ \({A_1}{A_2} \bot AC\), sau đó lại kẻ \({A_2}{A_3} \bot BC\). Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn \(A{A_1}{A_2}{A_3} \ldots \) Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + n + 2}};\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{2^n} + 3}}{{1 + {3^n}}}.\)

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n - 2} \right);\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 1} } \right);\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 2} + n} \right);\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {3n - \sqrt {4{n^2} + 1} } \right).\)

Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\) với a, b là các số thực thỏa mãn \(\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)?

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 + ... + \left( {2n - 1} \right)}}{{{n^2} + 2n}}\)?

Tính tổng \(S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{{{5^2}}} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{{{5^{n - 1}}}} + ...\)?

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03);

b) 3,(23).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\cos n}}{{{n^2}}}.\) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)?

Cho tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) bằng cách nối các trung điểm của các cạnh \({B_1}{C_1},{C_1}{A_1},{A_1}{B_1}.\) Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác \({A_3}{B_3}{C_3},...,{A_n}{B_n}{C_n},...\) Kí hiệu \({s_n}\) là diện tích của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\).

a) Tính \({s_n}\)?

b) Tính tổng \({s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ...\)?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)

a) Tính \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) theo n.

b) Tính \({u_n}\) theo n.

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - \frac{n}{{n + 1}}} \right| \le \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)?