Vận dụng 2 trang 108 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ A₁ đến A₂ với A1A2 = a = 100 (km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1\)(h). Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₂A₃ = 1 (km).

Để chạy hết quãng đường từ A₂ đến A₃ với A2A3 = 1 (km), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}\)(h). Với thời gian t₂ này, rùa đã chạy được quãng đường A₃A₄ = \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ A_n đến A_{n + 1} với A_nA_{n + 1} = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\)(h). ...

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., A­_nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\)(h).

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, công bội \(q=\frac{1}{{100}}\) , nên ta có

\(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}}\)\( = \frac{{100}}{{99}} = 1\frac{1}{{99}}\) (h).

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(1\frac{1}{{99}}\) giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

-- Mod Toán 11 HỌC247