Giải Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

a, Chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), với k là bậc cao nhất.

b, Nhân với biểu thức liên hợp 

\(\left( {\sqrt A  - B} \right).\left( {\sqrt A  + B} \right) = A - {B^2}\)

Lời giải chi tiết

a)  \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\: = \mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\: = \mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\: = 1,\:\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\: = 0\)

Suy ra \(\lim\limits_{n \to + \infty }{u_n} = + \infty \)

b) \(\lim\limits_{n \to  + \infty }{v_n}\: \)\(=\lim\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {2{n^2} + 1}  - n\: \)\(=\lim\limits_{n \to  + \infty } \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1}  + n}}\: \)\(=\lim\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + \frac{1}{n}} \right)}} \)\(= \lim\limits_{n \to  + \infty }\frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + \frac{1}{n}}}\:\: \)\(=  + \infty \)

-- Mod Toán 11 HỌC247