YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \(\displaystyle {{n(n - 3)} \over 2}\).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Thanh Nguyên

    Kí hiệu số đường chéo của đa giác n cạnh là \(C_n\).

    Ta chứng minh \(\displaystyle C_n = {{n(n - 3)} \over 2}\) (1) với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

    *) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

    Mặt khác \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\) nên (1) đúng với n = 4.

    Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).

    *) Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là \(C_k = \displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)

    *) Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).
    Tức là \(C_{k+1}=\displaystyle {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
    Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh
    Đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp).
    Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_2,...,A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo.
    Ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

    Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

    \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\)

    \( = \dfrac{{{k^2} - 3k}}{2} + k - 1 \)

    \(= \dfrac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2}\)

    \(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \)

    \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\)

    \(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

    Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

    Vậy bài toán đã được chứng minh.

      bởi Thanh Nguyên 24/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF