Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song


Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em những Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng, đi sâu vào các dạng toán liên quan đến Đường thẳng và mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

        Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\,.\) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).\)

b.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chỉ có một điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(A\,.\)

c.     Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left( P \right)\,.\)

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nào đó trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\,.\)

Tức là, \(a \not\subset \left( P \right)\) thì nếu:

\(a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).\)

Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

1.3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì mọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) mà cắt \(\left( P \right)\) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \(a\,.\)

Tức là, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\)

Đường thẳng song song với giao tuyến

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. 

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\)

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng

Hệ quả 3: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng song song với \(b\,.\)

 

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \(d\) songsong với mặt phẳng  \(\left( \alpha  \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).

Ví dụ 1: 

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\).

a) Chứng minh \(OO'\) song song với các mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\).

b) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên các cạnh \(AE,BD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\). Chứng minh \(MN\) song song với \(\left( {CDEF} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(BDF\) ứng với cạnh \(DF\) nên \(OO'\parallel DF\), \(DF \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow OO'\parallel \left( {ADF} \right)\).

Tương tự, \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(ACE\) ứng với cạnh \(CE\) nên \(OO'\parallel CE\), \(CE \subset \left( {CBE} \right) \Rightarrow OO'\parallel \left( {BCE} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(I = AN \cap CD\)

Do \(AB\parallel CD\) nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\)\( \Rightarrow MN\parallel IE\). Mà \(I \in CD \Rightarrow IE \subset \left( {CDEF} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {CDEF} \right)\).

 

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \(\left( \alpha  \right)\) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel d\\d \subset \left( \beta  \right)\\M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = d'\parallel d,M \in d'\)

Ví dụ 2: 

Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc cạnh \(AB\) và \(CD\), \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \(MN\) và song song với \(SA\).

a) Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi\(\left( \alpha  \right)\).

b) Tìm điều kiện của \(MN\) để thiết diện là một hình thang.

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MQ\parallel SA,Q \in SB\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap MN\)

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( \alpha  \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Vậy \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\)

Từ đó ta có \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ,\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\).

Thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

b) Tứ giác \(MNPQ\) là một hình thang khi \(MN\parallel PQ\) hoặc \(MQ\parallel NP\).

Trường hợp 1:

Nếu \(MQ\parallel NP\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\)

Mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu \(MN\parallel PQ\)thì ta có các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( \alpha  \right),\left( {SBC} \right)\)đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,BC,PQ\) nên \(MN\parallel BC\).

Đảo lại nếu \(MN\parallel BC\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( \alpha  \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN\parallel PQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.

Vậy để tứ giác \(MNPQ\) là hình thang thì điều kiện là \(MN\parallel BC\).

Bài tập minh họa

Bài 1:

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\); \({G_1},{G_2}\) tương ứng là trọng tâm các tam giác \(SAB,SBC\).

a) Chứng minh \(AC\parallel \left( {SMN} \right)\).

b) \({G_1}{G_2}\parallel \left( {SAC} \right)\).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {B{G_1}{G_2}} \right)\).

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\parallel \left( {SAC} \right)\).

b) \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên

\(\frac{{S{G_1}}}{{SM}} = \frac{{S{G_2}}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel MN\) mà \(MN\parallel AC \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel AC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left( {SAC} \right)\).

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {B{G_1}{G_2}} \right)\\NM \subset \left( {ABC} \right)\\{G_1}{G_2} \subset \left( {BG1{G_2}} \right)\\MN\parallel {G_1}{G_2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( {B{G_1}{G_2}} \right) = d\parallel MN\parallel {G_1}{G_2},B \in d\).

Bài 2:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một tứ giác lồi. Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua \(O\), song song với \(AB\) và \(SC\).

Hướng dẫn:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(O\) và song song với \(AB\) và \(SC\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( P \right) \cap \left( {SAC} \right)\\SC \subset \left( {SAC} \right)\\SC\parallel \left( P \right)\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( P \right) = OM\parallel SC,O \in SA\).

Tương tự

 \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( P \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\AB\parallel \left( P \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( P \right) = MN\parallel AB,N \in SB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right)\\SC \subset \left( {SBC} \right)\\SC\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( P \right) = NP\parallel SC,\)\(P \in BC\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\)gọi \(Q = PO \cap AD\) thì thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

3. Luyện tập Bài 3 chương 2 hình học 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em những Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng, đi sâu vào các dạng toán liên quan đến Đường thẳng và mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.

3.1 Trắc nghiệm về Đại cương về Đường thẳng và mặt phẳng song song

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 11

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 2 hình học 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

  • Cho hai góc đối đỉnh AOB và A'OB'. Gọi Ox là tia phân giác của góc AOB,Ox' là tia đối của tia Ox. Vì sao Ox' là tia phân giác của góc A'OB'?

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Qua điểm O, vẽ năm đường thẳng phân biệt.

    a) Có bao nhiêu góc trong hình vẽ?

    b) Trong các góc ấy,có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt?

    c) Xét các góc không có điểm chung, chứng tỏ tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 360  , tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 360.

     

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Bài 2.17 (Sách bài tập - trang 74)

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của AE và BF

    a) Chứng minh rằng OO' song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE)

    b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF) ?

    Theo dõi (0) 1 Trả lời

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

Được đề xuất cho bạn