Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

HS xem lại lý thuyết các bài đã học để trả lời câu hỏi này nhé.

Lời giải chi tiết

a) Gọi E là trung điểm của CC'. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') chính là khoảng cách từ A đến đoạn thẳng BE.

Ta có \(\vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AC'})\) nên \(AC'=AA'+A'C'=h+AC \vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AC'})\)

\(=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AA'}+\vec{A'C'})=\frac{1}{2}(\frac{h}{a}\vec{AB}+\frac{AC}{a}\vec{AB'})\)

Ta biết rằng \(\vec{AB}.\vec{AB'}=0 \( do \(AB\) vuông góc với \(AB'\) và \(\vec{AC}.\vec{AB'}=0\) do \(AC \perp AB'\). Từ đó, ta suy ra : 

\(\vec{AE}.\vec{AB'}=\frac{1}{2}\vec{AB}.\vec{AC}+\frac{h}{2a}\left | \vec{AB} \right |^{2} \)

Mặt khác, ta có thể 

\(\vec{AB}.\vec{AC}=\left | \vec{AB} \right |\left | \vec{AC} \right |cos (\widehat{AB,AC})=a^{2}cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}a^{2}\)

do đó

\(\vec{AE}.\vec{AB'}=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{h}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Khoảng cách từ \(A \(đến đoạn thẳng \(BE\) là:

\(d(A,BE)=\frac{\left | \vec{AE} .\vec{AB'}\right |}{\vec{AB'}}=\frac{a}{4}+\frac{h}{\sqrt{2}}\)

b) Ta có \(\vec{BC'}=\vec{BB'}+\vec{B'C'}\) Vì  \(BB' \perp BC'\) nên \( BB'. BC'=0 \( Mặt khác ta có:

\(\vec{B'C'}. \vec{BB'}=(\vec{BB'}+\vec{B'C'}).\vec{BB'}\)

\(= \left | \vec{BB'} \right |^{2}+\vec{B'C'}.\vec{BB'}\)

\(=\left | \vec{BB'} \right |^{2}+\vec{B'C'}.\vec{BB'}cos \widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}}\)

Do đó: 

\(\widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}}=\sqrt{1-cos^{2}(\widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}})}=\frac{\sqrt{2}a}{2b}\)

Vậy tam giác ABC' là tam giác vuông cân tại C'.

Khoảng cách từ A đến BC' là:

\(d(A, BC') = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC'}|}{|\overrightarrow{AB}|} \)

-- Mod Toán 11 HỌC247