Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 26: Khoảng cách

a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, vì sao MK > MH (H.7.74)

b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc
(P), giải thích vì sao MK ≥ MH (H.7.75).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a, AA'= h (H.7.77).

a) Tinh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng R cách từ A đến BC'.

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kì thuộc a và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).

Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).

a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\), \(SA = h\). Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của \(SA, SB, SC\).

a) Tính \(d((MNP), (ABC))\) và \(d(NP, (ABC))\).

b) Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và \(AB = a\). Tính \(d(A, (SBC))\).

Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).

a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không?

b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không?

c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD)⊥(ABCD).

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).

Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.

Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi năm trong bề nước.

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính theo \(a\) khoảng cách:

a) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'D'\).

b) Giữa đường thẳng \(AC\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

c) Từ điểm \(A\) đường thẳng \(B'D'\).

d) Giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(B'D'\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a\). Tính theo \(a\) khoảng cách:

a) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

b) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

c) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), góc \(ABC\) bằng \({60^ \circ }\), biết tam giác \(SBC\) đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = a\sqrt 2 ,AA' = a\sqrt 3 \). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\).

b) Giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(CD'\).

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = AA' = a\). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(B'C'\).

b) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\).

Trên một mái nhà nghiêng \({30^ \circ }\) so với mặt phẳng nằm ngang, người ta dựng một chiếc cột vuông góc với mái nhà. Hỏi chiếc cột tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Vì sao?