Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Định lí côsin. Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A,\\ {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B,\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C. \end{array}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0}\) và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.

Giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos{120^0}\\
 = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\left( { - \frac{1}{2} = 129} \right)
\end{array}\)

Vậy \(BC = \sqrt {129} \)

Định lí sin. Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {135^0},\widehat C = {15^0}\) và b = 12. Tính a, c, R và số đo góc B.

Giải

Ta có: \(\widehat B = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = {180^0} - \left( {{{135}^0} + {{15}^0}} \right) = {30^0}\)

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{135}^0}}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{c}{{\sin {{15}^0}}} = 2R\) 

Suy ra:

\(\begin{array}{l}
a = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {135^0} = 12\sqrt {12} ;\\
c = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {15^0} = 24\sin {15^0}\left( { \approx 6,21} \right);\\
R = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^0}}} = 12
\end{array}\)

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một sô yêu tô của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Ví dụ: Giải tam giác ABC, biết \(c = 14,\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0}\).

Giải

Ta có: \(\widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {80^0}\)

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{b}{{\sin {{40}^0}}} = \frac{{14}}{{\sin {{80}^0}}}\) 

Suy ra: \(a = \frac{{14\sin {{60}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 12,31;b = \frac{{14\sin {{40}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 9,14\)

Chú ý: Áp dụng các định li côsin, sin và sử dụng máy tính cằm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

• Biết hai cạnh và góc xen giữa;
• Biết ba cạnh;
• Biết một cạnh và hai góc kề.

Công thức tính diện tích tam giác ABC:   \(\begin{array}{l} *S = pr = \frac{{\left( {a + b + c} \right)r}}{2}\\ *S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}casinB = \frac{1}{2}ab\sin C\\ *S = \frac{{abc}}{{4R}}\\ *\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  \end{array}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.

a) Tính sinA.

b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.

Giải

a) Áp dụng định lí côsin, ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + 15 - {{13}^2}}}{{420}} = 0,6\) 

Do đó \(\sin A = \sqrt {1 - co{s^2}A}  = 0,8\) 

b) Ta có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = 84\).

Áp dụng công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai như sau:

Tam giác ABC có nửa chu vi là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\) 

Khi đó \({S_{ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = \sqrt {21.(21 - 13).(21 - 14).(21 - 15)}  = \sqrt {21.8.7.6}  = 84\)

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^o}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - \,2a\,c.\cos B\quad (2)\end{array}\)

(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)

Ta được:  \(B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {45^o} = 89 - 40\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BC \approx 5,7\)

Từ (2) suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\,}}{{2a\,c}}\);

Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.

\( \Rightarrow \cos B \approx \frac{{ - 217}}{{1900}} \Rightarrow \widehat B \approx {97^o} \Rightarrow \widehat C \approx {38^o}\)

Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, \(\widehat B = {97^o},\widehat C = {38^o}\)

Câu 2:

Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và \(\widehat B = {80^o}\). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{5.\sin {{80}^o}}}{8} \approx 0,6155\\ \Leftrightarrow \widehat C \approx {38^o}\end{array}\)

Lại có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {80^o} - {38^o} = {62^o}\)

Theo định lí sin, ta suy ra \(a = \sin A.\dfrac{b}{{\sin B}} = \sin {62^o}\dfrac{8}{{\sin {{80}^o}}} \approx 7,17\)

Và \(2R = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{8}{{2\sin {{80}^o}}} \approx 4,062.\)

Vậy tam giác ABC có \(\widehat A = {62^o}\); \(\widehat C \approx {38^o}\); \(a \approx 7,17\) và \(R \approx 4,062.\)

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)

Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {30^o} - {45^o} = {105^o}\)

Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)

Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

 - Định lý Côsin trong tam giác, cách chứng minh định lý côsin trong tam giác.

 - Nắm được cách tìm số đo các góc của tam giác khi biết độ dài 3 cạnh, nắm công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tam giác ABC có \(A B=2, A C=1 \text { và }\hat A=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh BC .

  • A. 1
  • B. 2
  • C. \(\sqrt2\)
  • D. \(\sqrt3\)

• Câu 2:

  Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và \(\widehat {ACB} = {60^0}\) . Tính độ dài cạnh cạnh BC .

  • A. \(BC=3+3 \sqrt{6}\)
  • B. \(BC=3 \sqrt{6}-3\)
  • C. \(BC=3 \sqrt{7}\)
  • D. \(BC=\frac{3+3 \sqrt{33}}{2}\) 

• Câu 3:

  Tam giác ABC có \(A B=\sqrt{2}, A C=\sqrt{3} \text { và } \hat{C}=45^{\circ}\). Tính độ dài cạnh BC .

  • A. \(B C=\sqrt{5}\)
  • B. \(B C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) 
  • C. \(B C=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)
  • D. \(B C=\sqrt{6}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 6 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Câu hỏi trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Khám phá trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trải nghiệm trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 3 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 5 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 4 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Thảo luận trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng 3 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.5 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.6 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.7 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.8 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.9 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.10 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.11 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.11 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!