Giải bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

-  Tính \(\widehat B = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat C\)

-  Áp dụng công thức \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) để tính cách cạnh \(a,\,\,b\)

-  Áp dụng định lý sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)

-  Áp dụng công thức tính diện tích \(S = \frac{{abc}}{{4R}}.\)

-  Áp dụng công thức tính diện tích để tính độ dài các đường cao \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat C = {180^ \circ } - {45^ \circ } - {30^ \circ } = {105^ \circ }.\)

Áp dụng định lý sin ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{45}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{105}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{12\sin {{45}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 12\sqrt 2 }\\{b = \frac{{12\sin {{105}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là:

Áp dụng định lý sin ta được:

\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{2.\frac{1}{2}}} = 12.\)

c) Diện tích \(\Delta ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}.12\sqrt 2 .6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right).\sin {30^ \circ } = 36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\) (đvdt).

d) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \frac{1}{2}a.{h_a}}\\{S = \frac{1}{2}b.{h_b}}\\{S = \frac{1}{2}c.{h_c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2S}}{a}}\\{{h_b} = \frac{{2S}}{b}}\\{{h_c} = \frac{{2S}}{c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\\{{h_b} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} = 6\sqrt 2 }\\{{h_c} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12}} = 6\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

-- Mod Toán 10 HỌC247